计算两个向量之间顺时针角度的直接方法

两个向量的标量（点）积可以让你得到它们之间角度的余弦。

要获得角度的“方向”，您还应该计算叉积。它可以让您检查（通过 z 坐标）角度是否顺时针（即，您是否应该从 360 度提取它）。

要计算角度，您只需要调用二维情况。其中是交叉生产的标量类似物（平行四边形的符号面积）。atan2(v1.s_cross(v2), v1.dot(v2))s_cross

对于二维情况，这将是楔形生产。

对于三维情况，您需要定义顺时针旋转，因为从平面的一侧顺时针是一个方向，从平面的另一侧是另一个方向=）

这是逆时针角度，顺时针角度正好相反。

如果“直接方式”是指避免这种说法，那么我认为没有一个真正通用的解决方案。if

但是，如果您的特定问题允许在角度离散化中损失一些精度，并且您可以在类型转换中浪费一些时间，则可以将 [-pi，pi] 允许的 phi 角度范围映射到某些有符号整数类型的允许范围。然后您将免费获得互补性。但是，我在实践中并没有真正使用过这个技巧。最有可能的是，浮点数到整数和整数到浮点数转换的费用将超过直接性的任何好处。当这种角度计算被大量完成时，最好将优先级设置为编写可自动矢量化或可并行化的代码。

此外，如果您的问题细节使得角度方向有明确的更可能的结果，那么您可以使用编译器的内置函数向编译器提供此信息，以便它可以更有效地优化分支。例如，在 GCC 的情况下，这就是函数。当你把它包装成这样的宏（就像在 Linux 内核中一样）时，使用起来会更方便一些：__builtin_expectlikelyunlikely

#define likely(x)      __builtin_expect(!!(x), 1)
#define unlikely(x)    __builtin_expect(!!(x), 0)

2D案例

就像点积与角度的余弦成正比一样，行列式与其正弦成正比。因此，您可以像这样计算角度：

dot = x1*x2 + y1*y2      # Dot product between [x1, y1] and [x2, y2]
det = x1*y2 - y1*x2      # Determinant
angle = atan2(det, dot)  # atan2(y, x) or atan2(sin, cos)

此角度的方向与坐标系的方向相匹配。在左手坐标系中，即 x 指向右边，y 向下，这在计算机图形学中很常见，这意味着您会得到顺时针角度的正号。如果坐标系的方向是数学方向，并且 y 向上，则按照数学惯例，您将获得逆时针角度。更改输入的顺序将更改符号，因此如果您对符号不满意，只需交换输入即可。

3D案例

在 3D 中，两个任意放置的矢量定义它们自己的旋转轴，垂直于两者。该旋转轴不具有固定方向，这意味着您也无法唯一固定旋转角度的方向。一个常见的约定是让角度始终为正，并以适合正角度的方式定向轴。在这种情况下，归一化向量的点积足以计算角度。

dot = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2    # Between [x1, y1, z1] and [x2, y2, z2]
lenSq1 = x1*x1 + y1*y1 + z1*z1
lenSq2 = x2*x2 + y2*y2 + z2*z2
angle = acos(dot/sqrt(lenSq1 * lenSq2))

请注意，一些注释和替代答案建议不要出于数字原因使用 aco，特别是如果要测量的角度很小。

嵌入 3D 的平面

一种特殊情况是，向量不是任意放置的，而是位于具有已知法向向量 n 的平面内。然后旋转轴也将在方向 n 上，而 n 的方向将固定该轴的方向。在这种情况下，您可以调整上面的 2D 计算，包括 n 行列式，使其大小为 3×3。

dot = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
det = x1*y2*zn + x2*yn*z1 + xn*y1*z2 - z1*y2*xn - z2*yn*x1 - zn*y1*x2
angle = atan2(det, dot)

要做到这一点，一个条件是法向量 n 具有单位长度。如果没有，则必须对其进行规范化。

作为三重产品

这个决定因素也可以表示为三乘积，正如@Excrubulent在建议的编辑中指出的那样。

det = n · (v1 × v2)

在某些 API 中，这可能更容易实现，并且对这里发生的事情给出了不同的视角：叉积与角度的正弦成正比，并且垂直于平面，因此是 n 的倍数。因此，点积基本上将测量该向量的长度，但附有正确的符号。

范围 0 – 360°

大多数实现将返回 [-π， π] 的角度（以弧度为单位），即 [-180°， 180°] 度。如果您需要正角 [0， 2π] 或 [0°， 360°]，您只需将 2π 添加到您得到的任何负结果中即可。或者您可以避免大小写区分并无条件使用。如果您处于需要相反校正的罕见设置中，即 返回非负 [0， 2π]，您需要 [-π， π] 中的有符号角，请改用 .这个技巧实际上并不特定于这个问题，但可以应用于大多数使用的情况。请记住检查您的交易是以度数还是弧度为单位，并根据需要在这些交易之间进行转换。atan2atan2(-det, -dot) + πatan2atan2(-det, -dot) - πatan2atan2

对于二维方法，您可以使用以下定律 余弦和“方向”方法。

计算线段 P3：P1 的角度 顺时针扫描到段 P3：P2。

    P1     P2

        P3

    double d = direction(x3, y3, x2, y2, x1, y1);

    // c
    int d1d3 = distanceSqEucl(x1, y1, x3, y3);

    // b
    int d2d3 = distanceSqEucl(x2, y2, x3, y3);

    // a
    int d1d2 = distanceSqEucl(x1, y1, x2, y2);

    //cosine A = (b^2 + c^2 - a^2)/2bc
    double cosA = (d1d3 + d2d3 - d1d2)
        / (2 * Math.sqrt(d1d3 * d2d3));

    double angleA = Math.acos(cosA);

    if (d > 0) {
        angleA = 2.*Math.PI - angleA;
    }

这具有相同数量的超验 上述建议的操作，只有一个 更多浮点运算。

它使用的方法有：

 public int distanceSqEucl(int x1, int y1,
    int x2, int y2) {

    int diffX = x1 - x2;
    int diffY = y1 - y2;
    return (diffX * diffX + diffY * diffY);
}

public int direction(int x1, int y1, int x2, int y2,
    int x3, int y3) {

    int d = ((x2 - x1)*(y3 - y1)) - ((y2 - y1)*(x3 - x1));

    return d;
}

这个答案与 MvG 的相同，但解释不同（这是我努力理解为什么 MvG 的解决方案有效的结果）。

从 到 的逆时针角度相对于其给定法线 （） 的视点由下式给出thetaxyn||n|| = 1

atan2（ 点（n， 交叉（x，y））， 点（x，y） ）

（1） = atan2（ ||x||||y||sin（theta）， ||x||||y||cos（theta） ）

（2） = atan2（ sin（theta）， cos（theta） ） ）

（3） = x 轴与向量之间的逆时针角度 （cos（theta）， sin（theta））

（4） = θ

其中表示 的大小。||x||x

步骤（1）紧随其后，指出

交叉（x，y） = ||x||||y||sin（theta） n，

等等

点（n， 十字（x，y））

= 点（n， ||x||||y||sin（theta） n）

= ||x||||y||sin（theta） 点（n， n）

等于

||x||||y||sin（theta）

如果。||n|| = 1

步骤 （2） 遵循 的定义，注意 ，其中 是标量。步骤（3）遵循 的定义。步骤（4）遵循和的几何定义。atan2atan2(cy, cx) = atan2(y,x)catan2cossin

两个向量 （xa，ya） 和 （xb，yb） 之间的顺时针角度，二维情况的公式。

Angle(vec.a-vec,b) =
  pi()/2*((1 + sign(ya))*
  (1 - sign(xa^2)) - (1 + sign(yb))*
  (1 - sign(xb^2))) + pi()/4*
  ((2 + sign(ya))*sign(xa) - (2 + sign(yb))*
  sign(xb)) + sign(xa*ya)*
  atan((abs(ya) - abs(xa))/(abs(ya) + abs(xa))) - sign(xb*yb)*
  atan((abs(yb) - abs(xb))/(abs(yb) + abs(xb)))

只需复制并粘贴以下内容：

angle = (acos((v1.x * v2.x + v1.y * v2.y)/((sqrt(v1.x*v1.x + v1.y*v1.y) * sqrt(v2.x*v2.x + v2.y*v2.y))))/pi*180);

由于最简单、最优雅的解决方案之一隐藏在其中一条评论中，我认为将其作为单独的答案发布可能会很有用。

acos可能会导致非常小的角度不准确，因此通常是首选。对于三维情况：atan2

dot = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
cross_x = (y1*z2 – z1*y2)
cross_y = (z1*x2 – x1*z2) 
cross_z = (x1*y2 – y1*x2)
det = sqrt(cross_x*cross_x + cross_y*cross_y + cross_z*cross_z)
angle = atan2(det, dot)

对于二维情况，atan2 可以轻松计算 （1， 0） 向量（x 轴）与其中一个向量之间的角度。

公式为：

Atan2(y, x)

因此，您可以轻松计算两个角度相对于 x 轴的差值：

angle = -(atan2(y2, x2) - atan2(y1, x1))

为什么不将其用作默认解决方案？ATAN2 效率不够高。来自最高答案的解决方案更好。在 C# 上的测试表明，该方法的性能降低了 19.6%（100 000 000 次迭代）。

这并不重要，但令人不快。

因此，其他有用的信息：

外侧和内侧之间的最小角度（以度为单位）：

abs(angle * 180 / PI)

全角度（度）：

angle = angle * 180 / PI
angle = angle > 0 ? angle : 360 - angle

或

angle = angle * 180 / PI
if (angle < 0)
    angle = 360 - angle;