如何确定我对 pi 的计算是否准确？

您可以使用多种方法，看看它们是否收敛到相同的答案。或者从“网”中获取一些。Chudnovsky 算法通常用作计算 pi 的非常快速的方法。http://www.craig-wood.com/nick/articles/pi-chudnovsky/

泰勒级数是近似圆周率的一种方法。如前所述，它收敛缓慢。

泰勒级数的部分和可以证明在下一项的某个乘数内，远离 pi 的真实值。

其他近似 pi 的方法也有类似的方法来计算最大误差。

我们知道这一点，因为我们可以通过数学来证明它。

由于我是目前圆周率位数最多的世界纪录保持者，我将添加我的两美分：

除非您真的要创造新的世界纪录，否则通常的做法只是根据已知值验证计算出的数字。所以这很简单。

事实上，我有一个网页，其中列出了数字片段，用于验证对它们的计算：http://www.numberworld.org/digits/Pi/

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但是，当你进入世界纪录的领域时，没有什么可以比较的。

从历史上看，验证计算数字是否正确的标准方法是使用第二种算法重新计算数字。因此，如果任一计算出错，末尾的数字将不匹配。

这通常会使所需时间增加一倍以上（因为第二种算法通常较慢）。但是，一旦您徘徊在从未计算过的数字和新的世界纪录的未知领域，这是验证计算数字的唯一方法。

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在超级计算机创造记录的时代，通常使用两种不同的 AGM 算法：

• 高斯-勒让德算法
• Borwein 算法

这两种算法都相当容易实现。O(N log(N)^2)

然而，如今，情况有点不同。在最后三项世界纪录中，我们没有执行两次计算，而是只使用已知最快的公式（Chudnovsky 公式）执行了一次计算：

这种算法更难实现，但它比 AGM 算法快得多。

然后，我们使用 BBP 公式验证二进制数字进行数字提取。

此公式允许您计算任意二进制数字，而无需计算之前的所有数字。因此，它用于验证最后几个计算出的二进制数字。因此，它比完整计算快得多。

这样做的好处是：

1. 只需要一个昂贵的计算。

缺点是：

1. 需要实现 Bailey-Borwein-Plouffe （BBP） 公式。
2. 需要额外的步骤来验证从二进制到十进制的基数转换。

_{我已经掩盖了一些细节，说明为什么验证最后几位数字意味着所有数字都是正确的。但很容易看出这一点，因为任何计算错误都会传播到最后一位数字。}

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现在，最后一步（验证转换）实际上相当重要。一位以前的世界纪录保持者实际上向我们提出了这个问题，因为最初，我没有充分描述它是如何工作的。

所以我从我的博客中提取了这个片段：

N = # of decimal digits desired
p = 64-bit prime number

使用以 10 为基数的算术计算 A，使用二进制算术计算 B。

如果 ，则以“极高概率”，转换是正确的。A = B

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如需进一步阅读，请参阅我的博客文章 Pi - 5 Trillion Digits。

毫无疑问，出于您的目的（我认为这只是一个编程练习），最好的办法是将您的结果与网络上任何 pi 数字列表进行检查。

我们怎么知道这些值是正确的？好吧，我可以说有一些计算机科学的方法可以证明算法的实现是正确的。

更实际地说，如果不同的人使用不同的算法，并且他们都同意（选择一个数字）一千（百万，无论什么）小数位，那应该会给你一种温暖的模糊感觉，他们做对了。

从历史上看，威廉·香克斯（William Shanks）在1873年将圆周率公布为小数点后707位。可怜的家伙，他从小数点后第 528 位开始犯了一个错误。

非常有趣的是，在 1995 年发布了一种算法，该算法具有直接计算 pi 的第 n 位（以 16 为基数）的属性，而无需计算所有先前的数字！

最后，我希望你最初的算法不是 这可能是最简单的编程方法，但它也是最慢的方法之一。查看维基百科上的 pi 文章以获取更快的方法。pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

你可以尝试使用（相当）快速收敛的幂级数来计算（或就此而言）sin 和 cos.（更好的是：使用各种倍增公式来计算更接近，以加快收敛。sin(pi/2)cos(pi/2)x=0

顺便说一句，比使用级数更好，计算说是一个黑匣子（例如，你可以使用上面的泰勒级数）是通过牛顿进行根查找。当然有更好的算法，但如果你不想验证大量的数字，这应该就足够了（而且实现起来并不难，你只需要一点微积分就可以理解它为什么有效。tan(x)cos(x)

有一种算法可以对arctan进行数字计算，只是为了回答这个问题，pi = 4 arctan 1 :)