罗素悖论 [已结束]

这个问题在标准的ZFC（Zermelo-Fraenkel + 选择公理）集合论中是不恰当的，因为这样定义的对象不是一个集合。

由于（同样，假设标准 ZFC）您的类 {x ： x\not\in x} 不是一个集合，答案是否定的，它不是它本身的一个元素（即使作为一个类），因为只有集合才能是类或集合的元素。

顺便说一句，一旦你同意基础公理，任何集合都不能成为其自身的一个元素。

当然，数学的好处是你可以选择任何你想要的公理:)但相信悖论是很奇怪的。

在ZFC中，无论是基础公理（如前所述）还是理解公理（方案）都将禁止这样做。首先，出于显而易见的原因;第二种，因为它基本上说对于给定的 z 和一阶性质 P，您可以构造 { x ∈ z ： P（x） }，但要生成罗素集合，您需要 z = V（所有集合的类），它不是一个集合（即不能从任何给定公理生成）。

在新基础（NF）中，“x∉x”不是一个分层公式，因此我们同样无法定义罗素集合。然而，有点有趣的是，V 是 NF 中的一个集合。

在冯·诺依曼--伯奈斯--哥德尔集合论（NBG）中，类R = { x ： x是一个集合，x ∉ x } 是 可定义的。然后我们问 R 是否∈ R;如果是这样，那么 R 也∉ R，给出矛盾。因此，我们必须有 R ∉ R。但这里并不矛盾，因为对于任何给定的类 A，A ∉ R 意味着 A ∈ A 或 A 是适当的类。既然 R ∉ R，我们就必须简单地认为 R 是一个合适的类。

当然，没有限制的类 R = { x ： x ∉ x } 在 NBG 中根本无法定义。

同样值得注意的是，上述过程在NBG中可以作为证明的形式构建，而在ZFC中，人们必须求助于元推理。

我见过的最优雅的证明与罗素悖论非常相似。

定理（我想是康托尔）。 设 X 是一个集合，2^X 是其子集的集合。然后 card（X） < card（2^X）。

证明。当然是 card（X） <= card（2^X），因为 X 和 2^X 中的单例之间存在微不足道的双射。我们必须证明 card（X） ！= card（2^X）。

假设 X 和 2^X 之间存在双射。然后，X 中的每个 xk 都映射到 2^X 中的一组 Ak。

• x1 ---> A1
• x2 ---> A2
• ...
• xk ---> Ak
• ...

对于每个 xk，可能性是：要么 xk 属于 Ak，要么不属于 Ak。设 M 是所有不属于其对应集合 Ak 的 xk 的集合。M 是 X 的子集，因此必须存在一个 X 的元素 m，它通过双射映射到 M。

m 属于 M 吗？如果确实如此，那么它就不会，因为 M 是那些不属于它们所映射到的集合的 x 的集合的集合。如果它没有，那么它就会，因为 M 包含所有这样的 x。这种矛盾源于存在双射的假设。因此，双射不可能存在，两个基数不同，并且该定理被证明。