根据距离生成具有给定平均乘积的数字的算法-解网

问：

我正在尝试提出一种算法，该算法根据距离生成具有给定平均乘积的数字。例如，假设 x 轴上有 4 个点，x1、x2、x3 和 x4。每个点都有一个位置和一个值。x1 的位置是 x=1，x2 的位置是 x=2，依此类推。所以这意味着 x1 和 x2 之间的距离是 1，而 x2 和 x4 之间的距离是 2，依此类推。

我正在寻找一种方法来生成 x 值，以便它们的平均乘积等于给定的数字。因此，对于每个距离，我们将有一个方程式

d=3：（1/2） * （n1*n4 + n4*n1） = 平均值1

d=2：（1/4） * （n1*n3 + n2*n4 + n3*n1 + n4*n2） = 平均值2

d=1：（1/6） * （n1*n2 + n2*n3 + n3*n4 + n2*n1 + n3*n2 + n4*n3） = 平均值3

d=0：（1/4） * （n1^2 + n2^2 + n3^2 + n4^2） = 平均值4

我尝试将平均值设置为小整数，然后设置 n1=1 并从那里开始。由此产生的代数给我留下了一个没有解的系统。我一直在使用点之间的距离矩阵来帮助可视化正在发生的事情。我假设一个人可以自由地选择x1，就像种子一样，然后尝试根据它推导出其他点。

算法统计数学优化

您好，我不确定您所说的“n1n4”是什么意思，如果您的意思是 x1 * x4，那么：您的输入将是 avg1、avg2、avg3 和 avg4。所以如果 avg4 = 0，所有点都必须在 0，x1 = x2 = x3 = x4 = 0 所以 avg1 = avg2 = avg3 = avg4 = 0 所以是的，有时不存在解决方案（例如输入：avg4 = 0，avg1 = 1 没有解决方案）我理解正确吗？

0赞 woot 10/14/2023

@Pauly我编辑了这篇文章以包含乘法符号，很抱歉不清楚。是的，给定平均值和点之间的距离，有没有办法生成点值，以便所有条件都成立。你能想出一个存在解决方案的例子吗？

0赞 Reinderien 10/17/2023

您能提供 avg1、2、3、4 的典型值吗？

0赞 Dave 10/17/2023

这有 n 个具有 n 个未知数的方程。

0赞 woot 10/18/2023

@Reinderien例如，avg4=10、avg3=6、avg2=2、avg1=1。

答：

2赞 Reinderien 10/17/2023 #1

此操作的内部是非线性的。它可能更好地表示为二次规划（QP）问题，但由于 scipy 不直接支持这些问题，我用泛型 .minimize

最好预先计算一个三维因子矩阵，其中包含距离、第一个 n 指数和第二个 n 指数的维度;然后在优化过程中使用一个来简化为均值向量。然后可以从目标均值中减去这些均值，并应用自点积来获得最小二乘成本。einsum

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

N = 4


def make_factors() -> np.ndarray:
    factors = np.empty((N, N, N))

    for d in range(N):
        if d == 0:
            num = 1
        else:
            num = 0.5
        diag = np.full(shape=N - d, fill_value=num/(N - d))
        addend = np.diag(v=diag, k=d)
        factors[d, ...] = addend
        if d != 0:
            factors[d, ...] += addend.T

    return factors


def actual_mean(params: np.ndarray, factors: np.ndarray) -> np.ndarray:
    # Equivalent to factors[i, ...] dot outer(params, params)
    return np.einsum('ijk,j,k->i', factors, params, params)


def cost(params: np.ndarray, factors: np.ndarray, target_means: np.ndarray) -> float:
    error = actual_mean(params, factors) - target_means
    return error.dot(error)


def solve(factors: np.ndarray, target_means: np.ndarray) -> np.ndarray:
    '''
    d=1: 1/2(N-1) * (2(N-1)n^2) = mean1
    n = sqrt(mean1) for x0
    '''
    x0 = np.full(shape=N, fill_value=np.sqrt(target_means[1]))

    result = minimize(
        fun=cost,
        x0=x0,
        args=(factors, target_means),
    )
    if not result.success:
        raise ValueError(result.message)
    return result.x


def main() -> None:
    factors = make_factors()
    target_means = np.array((3.4, 3.7, 3.3, 2.5))
    fit = solve(factors, target_means)
    print('n =', fit)
    print(target_means, '~', actual_mean(fit, factors))


if __name__ == '__main__':
    main()

n = [1.57903356 2.09332332 2.09332332 1.57903356]
[3.4 3.7 3.3 2.5] ~ [3.43767474 3.66428601 3.30542776 2.49334698]

根据距离生成具有给定平均乘积的数字的算法

algorithm to generate numbers which have a given average product based on distance

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