我不明白 Machine Epsilon 是什么意思

“2.2204e-16”是什么意思，添加“1”时有什么问题，它的目的是什么？

使用典型的 64 位浮点数，epsilon 约为 0.000000000000000022204（“2.2204e-16”或 2.2204*10-16）或正好是 ^2-52。

Epsilon：1 与给定浮点类型中可表示的大于 1 的最小归一化值之间的差值。

...
在 [0.5 和 1.0] 之间，64 位浮点步长各为 ^2-53。
在 [1.0 和 2.0] 之间，64 位浮点步长各为 ^2-52。Epsilon
在 [2.0 和 4.0] 之间，64 位浮点步长各为 ^2-51。
在 [4.0 和 8.0] 之间，64 位浮点步长各为 ^2-50。
。

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我们知道一个数字精确到第十六位数字，但我有很多疑问。

典型的浮点数，如果以 2 为基数：±b.bbbbbbbb... * 2^指数精确到 53 个二进制数字。
这大约是 15.95 或对数₁₀（2⁵³） 十进制数字 ±d.ddddddd... * 10^指数。

非零有限浮点数表示为 ±f•b^e，其中：

• b 是一个固定整数，它是格式的基础（最常见的是 2），
• f 是以 b 为基数的数字，带有 p 位数字，并且
• e 是某个区间内的整数指数，e 最小值 ≤ e _≤ e_最大值。

f 称为有效。p 是格式的精度。f 被限制在某个间隔内。目前，¹ 我们取 1 ≤ f < b。例如，当 b = 2 且 p = 53（通常用于 的格式的精度）时，数字 1 表示为：double

• +1.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

即“1.”后跟 52 个“0”数字，因此它是以 2 为基数的 53 位数字。

所谓的机器 epsilon 是我们为获得下一个可表示的数字而可以做出的最小更改。下一个数字是：

• +1.0000000000000000000000000000000000000000000000001 2•₂ ⁰.

所以区别在于：

• • +0.000000000000000000000000000000000000000000000000001 2•₂ ⁰.

即 2⁻⁵²•2⁰ = 2−⁵² ≈ 2.220446049•10⁻¹⁶。

这是最小精度单位 （ULP） 1。

请注意，ULP 取决于数字的一般大小，特别是使用哪个指数来表示它。数字 32,768 用指数 15 表示：

• +1.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

因此，下一个可表示的数字是：

• +1.00000000000000000000000000000000000000000000000001 2•₂ ¹⁵.

这意味着区别在于：

• +0.000000000000000000000000000000000000000000000000001 2•₂ ¹⁵.

即 2⁻⁵²•2¹⁵ ≈ 7.275957614•10⁻¹²。

因此，32,768 的 ULP 约为 7.275957614•10⁻¹²。

补充

我只认为使用 64 位机器 epsilon，我们知道一个数字精确到第 16 位，但我有很多疑问。

格式中的位数只能告诉您格式中数字的精度，而不能告诉它们有多准确。将数字转换为浮点格式时，会将其舍入为该格式。当您进行加法、乘法或执行其他运算时，普通算术结果将四舍五入为格式。在各种操作过程中，这些舍入误差可能会复合或抵消，因此最终结果可能非常不准确或可能准确。确定哪个以及多少可能很困难。无论浮点格式多么精确，某些操作序列几乎总是会产生不准确的结果。精度并不能告诉您准确性。

脚注

¹ 有时，将 f 缩放到区间 [b ^p−1， b ^p[，并相应地调整指数。这使得 f 始终是一个整数，因此它对于在浮点证明中使用数论很有用。有时，它被缩放为 [1/b， 1[.C 标准使用这个。在所有这些中，f 的第一个数字必须为非零。有时，允许第一个数字为零，这允许表示零和次正常数字。