浮点不准确性示例

浮点数基本上有两个主要陷阱。

1. 规模问题。每个 FP 数字都有一个指数，它决定了数字的整体“比例”，因此您可以表示非常小的值或非常大的值，尽管您可以为此投入的位数是有限的。将两个不同比例的数字相加有时会导致较小的数字被“吃掉”，因为没有办法将其放入较大的比例中。

   PS> $a = 1; $b = 0.0000000000000000000000001
   PS> Write-Host a=$a b=$b
   a=1 b=1E-25
   PS> $a + $b
   1
   

   作为这种情况的类比，您可以想象一个大型游泳池和一茶匙水。两者的大小都非常不同，但单独使用时，您可以很容易地掌握它们的大致数量。然而，将茶匙倒入游泳池中，您仍然会留下一个装满水的游泳池。

   （如果学习这个的人在指数表示法方面有困难，也可以使用值和/或左右。1100000000000000000000

2. 然后是二进制与十进制表示的问题。像这样的数字不能用有限数量的二进制数字精确表示。但是，有些语言会掩盖这一点：0.1

   PS> "{0:N50}" -f 0.1
   0.10000000000000000000000000000000000000000000000000
   

   但是你可以通过重复将数字相加来“放大”表示错误：

   PS> $sum = 0; for ($i = 0; $i -lt 100; $i++) { $sum += 0.1 }; $sum
   9,99999999999998
   

   不过，我想不出一个很好的类比来正确解释这一点。这基本上是同一个问题，为什么你只能用十进制来表示 ¹/3，因为要获得确切的值，你需要在小数部分的末尾无限重复 ₃。

   同样，二进制分数适用于表示二分之一、四分之一、八分之一等，但像十分之一这样的东西会产生无限重复的二进制数字流。

3. 然后还有另一个问题，尽管大多数人不会偶然发现这个问题，除非他们正在做大量的数字工作。但是，那些人已经知道了这个问题。由于许多浮点数只是精确值的近似值，这意味着对于实数 r 的给定近似值 f，可以有无限多的实数 r ₁、r₂、...映射到完全相同的近似值。这些数字位于一定的区间内。假设 r min 是 r 的最小可能值，导致 f 和 r max 是 r 的最大可能值，因此你得到一个区间 [r _min， r _max]，其中该区间中的任何数字都可以是您的实际数字 r。

   现在，如果你对这个数字进行计算——加法、减法、乘法等——你就会失去精度。每个数字都只是一个近似值，因此您实际上是在执行带有区间的计算。结果也是一个区间，近似误差只会变大，从而扩大区间。您可以从该计算中返回一个数字。但这只是可能结果区间中的一个数字，考虑到原始操作数的精度和由于计算而导致的精度损失。

   这种东西被称为区间算术，至少对我来说，这是我们大学数学课程的一部分。

在 python 中：

>>> 1.0 / 10
0.10000000000000001

解释为什么某些分数不能用二进制精确表示。就像某些分数（如 1/3）不能以 10 为基数精确表示一样。

这怎么适合外行人进行移植。计算机表示数字的一种方式是计算离散单位。这些是数字计算机。对于整数，即那些没有小数部分的数，现代数字计算机计算 2 的幂：1、2、4、8。 ,,, 位值，二进制数字，等等，等等，等等。对于分数，数字计算机计算两个的反幂：1/2、1/4、1/8、...问题在于，许多数字不能用有限数量的反幂之和来表示。使用更多的位值（更多的位）将提高这些“问题”数字的表示精度，但永远无法准确获得它，因为它只有有限的位数。有些数字不能用无限位数的位数表示。

打盹。。。

好的，您想测量容器中的水量，而您只有 3 个量杯：满杯、半杯和四分之一杯。在数完最后一个满杯子后，假设还剩下三分之一的杯子。然而，你无法测量它，因为它不能完全填充任何可用杯子的组合。它不能装满半杯，四分之一杯的溢出量太小，无法装满任何东西。所以你有一个错误 - 1/3 和 1/4 之间的差异。当您将此误差与其他测量误差相结合时，此误差会更加复杂。

向他们展示 base-10 系统也存在完全相同的问题。

尝试将 1/3 表示为以 10 为基数的十进制表示。您将无法完全做到这一点。

因此，如果您编写“0.3333”，您将在许多用例中拥有相当精确的表示。

但是，如果你把它移回分数，你会得到“3333/10000”，这与“1/3”不同。

其他分数，例如 1/2，可以很容易地用以 10 为基数的有限十进制表示：“0.5”

现在，以 2 为基数和以 10 为基数的 base 10 存在着本质上相同的问题：两者都有一些它们无法准确表示的数字。

虽然以 10 为基数将 1/10 表示为 “0.1” 没有问题，但在 base-2 中，您需要以“0.000110011..”开头的无限表示。

另一个例子，在 C 语言中

printf (" %.20f \n", 3.6);

难以置信地给予

3.60000000000000008882

如果将 9999999.499999999999 转换为 a 并返回 a，可能会观察到一个可爱的数字怪异。结果报告为 10000000，即使该值明显更接近 9999999，并且即使 9999999.4999999999 正确舍入为 9999999。floatdouble

这是我的简单理解。

问题： 值 0.45 不能用浮点数准确表示，而是向上舍入到 0.450000018。为什么？

答： int 值 45 由二进制值 101101 表示。 为了使值为 0.45，如果可以取 45 x 10^-2 （= 45 / 10^2），那将是准确的。 但这是不可能的，因为您必须使用以 2 为基数而不是 10 的基数。

因此，最接近 10^2 = 100 的是 128 = 2^7。值 45 （101101） 需要的总位数为 9 ： 6 + 值 7 （111） 为 3 位。 则值 45 x 2^-7 = 0.3515625。现在你有一个严重的不准确问题。0.3515625 并不接近 0.45。

我们如何改善这种不准确性？好吧，我们可以将值 45 和 7 更改为其他值。

460 x 2^-10 = 0.44921875 怎么样。您现在将 9 位用于 460，将 4 位用于 10。然后它更近了一点，但仍然没有那么近。但是，如果初始期望值为 0.44921875，则将得到没有近似值的完全匹配。

因此，您的值的公式将是 X = A x 2^B。其中 A 和 B 是整数值正数或负数。 显然，数字越高，您的精度就越高，但是，如您所知，表示值 A 和 B 的位数是有限的。对于浮点数，您总共有 32 个。Double 有 64，Decimal 有 128。