提问人：Iti 提问时间：12/23/2022 更新时间：12/25/2022 访问量：169
实数的浮点表示不是唯一的
Floating point representation of a real number is not unique
问：
我正在阅读有关实数的浮点表示的文章。
在任何具有算术基数 β 的实数系统中，实数 x 可以表示为
x=（0.d 1 d2 --- d t dt+1---） β X βe （1） 其中 0≤di≤β-1
现在考虑二进制系统中的 （0.5）
10。
在二进制系统中，
(0.5){10}=（0.1）2 （2）
但是我们可以看到
1/2=（1/2 2）+（1/2 3）+----
（0.5）10=（0.01111---）2 （3）
从 （2） 和 （3） 中我们可以看到同一个数字有两个浮点表示。
我读到过，可以通过考虑“归一化浮点表示”（即
d1 ≠ 0）来消除这种歧义
但是对于归一化的浮点表示，我们仍然有歧义。
（0.5）10=（0.100000）2 （2（a）） （0.5）10=（（0.1111111----） X 2-1） （3（a））
因此，从（2（a））和（3（a））中，我们可以看到，即使使用归一化浮点表示，歧义仍未解决。 有人能说出我是否正确吗？如何解决这种歧义？
答：
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chux - Reinstate Monica
12/24/2022
#1
...使用归一化浮点表示，我们仍然存在歧义。
没有歧义。
（2（a）） （0.5）10 = （0.100000）2 （3（a））I （0.5）10 = （（0.1111111----）2 X 2-1 （作为无穷级数） （3（a））F （0.5）10 = （（0.11111111----）2 X 2-1
（作为有限级数）
（2（a））为真。
（3（a））我是真的。
（3（a））F 为 false，因为浮点值中的项数是有限的。这并不比 1.0 等于 0.9999999999999999 更正确。
（3（a））I对于普通二进制浮点是不可能的。除 +0.0 和 -0.0 外，所有有限值只有 1 种编码。
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Iti
12/24/2022
谢谢你的回答。我有一个基本问题。我们知道，对于有限的精度，数字是四舍五入的。因此，计算机可以对 0.5 的第二个表示形式进行四舍五入，从而存储它时有一些错误。计算机如何决定采用哪种表示？是误差是选择数字表示的标准，因为在存储 0.5 的第一个表示时不会有错误。
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Andrew
12/24/2022
（3（a））（0.5）10 = （（0.1111111----）2 X 2-1 为真。现实世界的浮点数是有限的，因此 0.1111111---- 不存在。
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chux - Reinstate Monica
12/25/2022
@Iti “我们知道，对于有限的精度，数字是四舍五入的。 -->并非总是如此。代码可以精确地以浮点数编码。0.5
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chux - Reinstate Monica
12/25/2022
@Iti“因此，计算机可以对 0.5 的第二个表示形式进行四舍五入，从而在存储时出现一些错误”是错误的，因为在具有有限内存的计算机中不可能实现具有无限级数的第二个表示。编译器读取代码并隐藏以尽可能编码确切的浮点值。如果不能，则将其转换为下一个更高或更低的可编码浮点指针值。选择通常是最接近的。
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chux - Reinstate Monica
12/25/2022
@Iti “对于十进制浮点常数，...，结果是最接近的可表示值，或者是紧邻最接近的可表示值的较大或较小的可表示值，以实现定义的方式选择”。C17 § 6.4.4.2 3.
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