检查三次方程的根是否复数？

谢谢马克·迪金森。

所以根据维基百科：

delta > 0：立方体有三个不同的实根

delta < 0：立方有一个实根和两个非实复数 共轭根。

三角洲 D = (B*B - 4*A*A*A)/(-27*a*a)

我的理想是：

• 增量> 0：删除所有 3 根的虚数。

• 增量< 0：找到真正的根，然后删除其虚部（如果有） （以确保它是真实的）。保持其他 2 根不变。现在我 有 2 个想法来找到真正的根源：

理想 #1

从理论上讲，实根应该有 imaginary = 0，但由于浮点精度，imaginary 可能会稍微偏离 0（例如，imaginary = 1E-15 而不是 0）。所以这个想法是：3 个根中的 1 个实根应该具有值最接近 0 的虚数。

法典：

NumComplex[] arrRoot = { x1, x2, x3 };

if (delta > 0)
{
    for (var idxRoot = 0; idxRoot < arrRoot.Length; ++idxRoot)
        arrRoot[idxRoot] = arrRoot[idxRoot].RemoveImaginary();
}
else
{
    //The root with imaginary closest to 0 should be the real root,
    //the other two should be non-real.
    var realRootIdx = 0;
    var absClosest = double.MaxValue;
    double abs;

    for (var idxRoot = 0; idxRoot < arrRoot.Length; ++idxRoot)
    {
        abs = System.Math.Abs(arrRoot[idxRoot].GetImaginary());
        if (abs < absClosest)
        {
            absClosest = abs;
            realRootIdx = idxRoot;
        }
    }

    arrRoot[realRootIdx] = arrRoot[realRootIdx].RemoveImaginary();
}

如果有 3 个根 （{real， imaginary}），则上面的代码可能是错误的，如下所示：

{7, -1E-99}
{3, 1E-15}//1E-15 caused by floating point precision, 1E-15 should be 0
{7, 1E-99}//My code will mistake this because this is closer to 0 than 1E-15.

也许如果这种情况真的发生在现实生活中，我会想出一个更好的方法来寻找真正的根源。

想法 #2

看看 3 个根是如何计算的：

x1 = FromPolarCoordinates(r, theta);
x2 = FromPolarCoordinates(r, theta + shift);
x3 = FromPolarCoordinates(r, theta - shift);

3 个根的形式是这样的（通过测试知道这一点，而不是通过数学证明）：

x1 = { A }
x2 = { B, C }
x3 = { B, -C }

用数学知识来证明 3 个根中哪一个是真正的。

试验#1：也许根源总是真实的？（失败）不真实，因为以下情况证明猜测是错误的：（再次感谢马克·狄金森x1 = FromPolarCoordinates(r, theta)-53 x³ + 6 x² + 14 x - 54 = 0)

我不知道数学是否可以证明这样的事情： 虽然：如果 x3 是实数，否则 x1 是实数？delta < 0B < 0

因此，在我得到更好的想法之前，我将只使用想法#1。