问：

我为什么需要这个？

我正在制作一个关于太空的游戏。为了让太空游戏发挥作用，它需要大而准确的数字。浮点数对于这样的应用来说并不是很好，因为如果你在世界上走得很远，精度会更差，所以物理特性不会是一样的，依此类推。

怎么了

在太空中，通常倾向于行星。因此，要创建一个，我必须生成球体（行星）网格。问题是，如果我想要一颗像木星这样的行星（半径为 ~69911km），当我归一化一个点并将其乘以行星的半径，从而将其“放置”在行星表面时，我没有足够的精度（网格不完全是圆形的，误差约为 10-15m）。这是该错误的一些镜头（行星的闪烁是由于视频压缩造成的，网格中最小正方形的边长约为 ~10m）。问题不在于数字，而在于我用来规范化点的方法。

在视频中，我使用的是精度为 20 位的 64 位定点数字。我只是通过将点与快速平方反比根相乘来对点进行归一化（我只使用牛顿方法的一次迭代，两次更好，但仍然不够）。其中，我将定点数转换为双精度浮点数，仅用于快速平方反比根。

我的想法和尝试

我认为获得如此精确的向量归一化的唯一解决方案是使用迭代方法：

1. 正常计算点（将其归一化并乘以行星半径）
2. 将它推得越来越接近半径，直到误差足够小（我希望它是 0.01m）

这 2.步骤是困难的一步。我没有数学技能，也没有计算机科学领域的任何经验来解决这个问题。我们可以迭代地增加或减少一个向量，但是多少量，以及我们如何知道我们不会超过它。我想再次尝试牛顿方法，但使用的是实际坐标，而不是长度的平方反比根。其中包括 128 位除法以保持所需的精度，这是无法有效完成的（请记住，对于行星网格的每个顶点，我必须这样做一百万次）

对此有什么想法吗？

而且尺度还不止于此，如果我想做一颗恒星怎么办，太阳的半径是木星的10倍。还有更大的明星。

我可能不是第一个思考这个问题的人，因为许多人都尝试过以真实的比例制造地球（请记住，地球半径比木星小 10 倍）。而且我可能不会是最后一个尝试这个的人，所以迟早会有答案。

更新 1，经过一些评论

1. 是的，我使用具有 64 位数字的 3D 向量，精度为 20 位作为数字。而且我显然正在使用行星的局部坐标系来创建点（我需要根据需要进行归一化）。
2. 使用浮点数是我最后的希望。它们实际上不是为这种应用而设计的，因为不同尺度的精度存在差异。
3. 我想为天体（恒星、行星）制作的尺度至少是太阳的大小。对于对象的位置，我使用了两个 64 位整数（实际上是一个 128 位整数），因此如果我想制作它，游戏中的世界可以比我们实际的可观察宇宙更大（多亏了定点数字）。但是我不需要 128 位整数来表示行星顶点的位置，64 位就足够了（尽管我可以在此过程中使用 128 位整数来计算值）。正如我所提到的，网格顶点的误差最好小于 0.01 米，其中 1 个坐标单位为 1 米（想象一下在行星表面行走，任何大于 0.01m 的东西都可能很明显）。

我之所以如此推定点数，是因为由于物理学的原因，我不能将物体的位置用作浮点数。假设我们有一个大行星，比木星还大。因为我需要计算相对于木星位置的顶点，然后在着色器中从它们中减去相机位置（主要限于 32 位浮点数），所以误差只会加起来，而且会很明显。有一些解决方法，但核心问题总是会出现在使用浮点数时。

TL;博士

我需要一种方法来计算半径可以大到 1000000000 = 10^9 的球体上的点，但误差小于 0.01，给定该点需要静止的角度。而且这种方法需要相对高效。