为什么IEEE754双精度格式只能精确到 15 位？-解网

问：

我目前正在学习浮点表示。根据本网站，以下是此表示的可能范围。-1.79E+308 至 -2.23E-308、0 和 2.23E-308 至 1.79E+308。问题是，我不太明白这个范围意味着什么。既然指数是 10^308，那么它不应该精确到 308 位吗？当然，这似乎是不对的，因为根据我的经验，浮点的准确性几乎不高。

我在这里误解了什么？将不胜感激。

浮点计算机科学精密 CPU架构 IEEE-754

可以精确表示从 −2 53 到 2⁵³（−9,007,199,254,740,992 到 9,007,199,254,740,992）的整数
介于 2⁵³ 和 2⁵⁴ 之间的整数 = 18,014,398,509,481,984 四舍五入为 2 的倍数（偶数）
介于 25⁴ 和 2⁵⁵ 之间的整数 = 36,028,797,018,963,968 四舍五入为 4 的倍数

对于像这样的大型双精度部分，没有尾数位可以对小数部分进行编码：指数场将它们全部向上移动到整数部分。只有像 1.125 这样的小数才能有小数部分。（而且你仍然不能这样做，因为两个非零部分彼此相距太远。2^531.00000000000000000000000000000000001

如果你的推理有效，如果你在小数点右边包含小数部分，那么每个浮点数难道不应该能够表示无限数量的数字吗？显然没有固定的 64 位值，只有 2^64 种不同的位模式，因此问题在于如何在要表示的范围内分散这些值。

浮点选择固定数量的位数，并让小数点根据指数“浮动”到不同的位置。（实际上是二进制数字，因此不是小数点：正确的术语是以 2 为基数的基数点。除非您使用的是“十进制浮点数”格式。

例如，假设在 4 位小数位的左右两侧有无限串零，但您可以将小数点放在指数范围限制内的任何位置。

  0000012340000000.0             # large integer
  000001234.00000000             # small integer
  000001.23400000000             # small number near 1
  0.0000123400000000             # quite small number

您可以等效地考虑尾数被指数相对于小数点向左或向右移动，以创建一个可变大小的定点表示，该表示实际上具有零位来填充空间。1.234

出于说明目的，我使用十进制;只有少数 CPU 具有支持十进制指数的指令（例如某些 PowerPC）。对于二进制（以 2 为底数），基数点位于某个位置，概念相同。

我还遗漏了一些东西，例如非零指数编码隐含的二进制尾数顶部的隐式 1，以及指数实际使用偏差编码的方式。有关完整详细信息，请参阅 wiki 文章。

使用单精度浮点 https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html 也很有指导意义，它显示位模式（带有用于修改位的复选框），以及由尾数和指数字段分别表示的值，以及总体表示的实际值。

有关一些简洁的浮点内容的更高级了解，请参阅 Bruce Dawson 的系列浮点文章。比较浮点数，2012 版有指向所有 16 个浮点数的链接，例如只有 40 亿个浮点数——所以全部测试一下！

他们中的一些人专注于 x86 和 x86-64 上 C 语言中 FP 环境的实用性，另一个人指出，增加浮点数的整数位模式是如何实现的，从而增加其幅度。（指数编码中的偏差使得 FP 位模式可与符号/幅度整数相媲美，但 NAN 特殊情况除外。nextafter

上一个：浮点文字中要尽可能正确地表示值的最小有效十进制位数是多少？

下一个：为什么 JavaScript 中的 0.3 + 0 == 0.3 和 0.1 + 0 == 0.1 不能完全用二进制表示

为什么IEEE754双精度格式只能精确到 15 位？

Why is the IEEE754 double precision format only accurate to 15 digits?

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