当特征值和特征向量已知时查找矩阵-解网

问：

我一直在尝试从特征值和特征向量中找到我的矩阵。我首先从矩阵中计算特征值和特征向量。然后，我想验证特征值和特征向量的值。但是没有得到预期的值。我的代码

import numpy as np
from numpy.linalg import eig
a=np.array([[1,2],[2,np.pi]])
w,v=eig(a)
c0=np.outer(v[0],v[0].T)
c1=np.outer(v[1],v[1].T)
a_=w[0]*c0+w[1]*c1

我得到的结果是：

array ([[ 1.     , -2.     ], 
        [-2.     ,  3.14159]])

但我期待与 a 相同的数组。谁能告诉我这里出了什么问题？

python 值特征向量

因为你有 2 个不同的特征值，所以在维度 2 中，向量必须是正交的（每个子空间都是一条线;所以无论我们选择什么特征向量，它们都是我们已知存在的正交集的特征向量的共线）。因此，在对称的情况下，并且您具有与的维数一样多的特征值，是正交的，并且是酉的，因为保证每个向量都是归一化的（范数 1）aaveig

但是，如果碰巧有双特征值，那么，我们所知道的是 CAN 可能是酉的，但不能保证这一点。aveig

例如，一个漫画示例，是唯一的特征值为 1。特征空间是整个空间。因此，任何由两个独立向量组成的都是有效的.当然，存在一些酉特征向量集（是显而易见的。事实上）是.但也存在其他非单一的，即使在正常化之后也是如此。例如，是另一组有效的特征向量，可以通过（两者都是特征向量。它们构成了特征空间的有效基础。它们被规范化了）。A=Identityvv[1,0], [0,1]np.array([[1,0],[0,1]])@np.diag([1,1])@np.array([[1,0],[0,1]]).TA[1,0], [1/√2, 1/√2]eig

然而不是（是）。np.array([[1, 1/np.sqrt(2)], [0, 1/np.sqrt(2)]])@np.diag([1,1])@np.array([[1, 1/np.sqrt(2)], [0, 1/np.sqrt(2)]]).TAnp.array([[1, 1/np.sqrt(2)], [0, 1/np.sqrt(2)]])@np.diag([1,1])@np.linalg.inv(np.array([[1, 1/np.sqrt(2)], [0, 1/np.sqrt(2)]]))

所以，长话短说，在 dim 2 中，即使使用对称矩阵，您也不能保证它是酉的。数学告诉我们这是可能的。但不能保证。因此，您不知道（这是您计算的内容，代码较长）是否是 .avlinalg.eig[email protected](w)@v.Ta

另一方面，只能用于厄米特矩阵（因此，现实世界中的对称矩阵），保证它是酉的。eighv

所以tl;博士

您的代码假定和是特征向量。他们不是。并且是。v[0]v[1]v[:,0]v[:,1]
一旦纠正了这一点，你的代码就等同于计算[email protected](w)@v.T
这与（等于）是一回事，只有当是酉的。并不能保证情况确实如此（即使对称，也有可能是这样）。因此，不能保证您的代码即使在更正后也能找回。即便如此，在您的情况下（更正后），它恰好起作用。a[email protected](w)@np.linalg.inv(v)veigaa
eigh，它只适用于对称（厄米特）矩阵，就像你一样，确实保证了这一点。因此，请在代码中替换为。然后，你肯定知道（只要是对称的），是 .aeigeighaa_a

上一个：如何在 COMSOL 特征频率解上执行索引？

下一个：对于具有复特征值的 3x3 矩阵，Matlab [evecs， evals] = eig（A）是否总是在第一列中返回实际特征值？

当特征值和特征向量已知时查找矩阵

Finding Matrix When Eigen Values & Eigen Vectors were known

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