提问人：Pascal Cuoq 提问时间：4/7/2013 最后编辑：phuclvPascal Cuoq 更新时间：9/10/2020 访问量：402
双双实现，可灵活应对 FPU 舍入模式
double-double implementation resilient to FPU rounding mode
问：
上下文：双双算术
“双精度”是数字的表示形式，表示为两个双精度数的总和，在有效数中没有重叠。这种表示利用现有的双精度硬件实现进行“接近四精度”的计算。
双精度实现中的一个典型低级 C 函数可能采用两个双精度数，并计算表示其总和的双精度数：ab|a| ≥ |b|(s, e)
s = a + b;
e = b - (s - a);
（改编自本文）
这些实现通常采用舍入到最接近偶数模式。
在上面的计算中，才是归一化的双倍，只是因为这个假设。如果没有它，在向上舍入模式下，用 、 计算为 和 稍高一点。它们的总和等于 和 的数学总和，但它们的有效性重叠。(s, e)a == 0x1.0p60b == 1s0x1.0000000000001p60e-0x0.0000000000001p60ab
取和 和 一方面和另一方面的数学总和甚至不再重合。a == 0x1.0p120abse
问题
有没有办法构建一个双双的库，其属性与典型的双双库在四舍五入到最接近偶数（即相对较快和相对准确）中具有的属性相同，但无论舍入模式如何？
这样的库已经存在了吗？
更一般的上下文：正确舍入的基本函数
double-double 排序的实现用于正确舍入初等函数库的实现中的中间计算。因此，当 FPU 未处于舍入到最接近偶数模式时调用函数时，以这种方式实现的库往往会失败。出于性能原因，并且由于函数执行时到达的信号会使 FPU 处于舍入到最接近偶数模式，因此更改函数内部的舍入模式不是很可口。在我看来，在任何舍入模式下都能快速、正确舍入的基本函数的最简单方法是，如果人们可以以某种方式依赖在任何舍入模式下工作的双倍算术。
答：
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2 revsPascal Cuoq
#1
njuffa 提到的文章提供了以下功能，其符号与我的问题非常相似，只是在那里表示的内容只是在我的问题中表示：fl (a+b)a+b
Two−Sum−toward−zero2 (a, b)
if (|a| < |b|)
swap (a , b)
s = fl (a + b)
d = fl (s − a)
e = fl (b − d)
if(|2 ∗ b|<|d|)
s = a, e = b
return (s, e)
对于在四舍五入到零模式下的这种特定基本计算，这是一个非常巧妙的修复。它使人们希望实现一个正确的舍入基本函数是可能的，至少通过尽早测试舍入模式并选择单独的算法，或者通过编写适用于所有舍入模式的非常谨慎的代码。
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njuffa
4/7/2013
根据问题的上下文，一种解决方案可能是使用不实现动态舍入模式的平台，而是将舍入模式直接编码到每个浮点指令中。一个例子是 DEC Alpha 架构（它还提供对 dyanmic 舍入的支持）或 GPU。例如，NVIDIA GPU 的 CUDA 环境为原始四种 IEEE 舍入模式中的每一种提供所有基本数学运算的内部函数。例如，这在对间隔算术例程进行编码时非常方便。
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Pascal Cuoq
4/7/2013
@njuffa I dream of a libm that (1) is fast, (2) works regardless of rounding mode, (3) is correctly rounded, but implicitly also (4) runs on my hardware. I know where to get (1)&(3)&(4) or (1)&(2)&(4) or (2)&(3)&(4). Architectures with selectable rounding modes are nice, and I was slightly disappointed that IA64 (which also features them) did not take. The hint about CUDA is very good news indeed.
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Z boson
4/28/2015
@PascalCuoq, the link to the article is broken.
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Pascal Cuoq
4/28/2015
@Zboson Updated. If even academics cannot keep URLs of their articles working, …
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Z boson
4/29/2015
@PascalCuoq, thanks, that link I find a bit easier to read then some of the others. BTW, why did you make your answer community wiki? I just realized you answered your own question. Is this why you made it community wiki? Is this considered good etiquette if you answer your own question?
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