浮点乘法上的误差边界-解网

问：

我正在寻找一个公式来限制浮点乘法传播的误差。我已经看到了以下陈述（但未得到证实）。

如果是 with bound ulps 的浮点近似值，并且同样是 with bound ulps 的浮点近似值，并且是浮点精度，则正确舍入积上的 bound 为 ulps。xaxuxyayuypxa*yaux + uy + ux*uy/(2^p) + 0.5

我已经看到以下更简单的结果证明。如果近似于与有结合的 ulps，则正确圆角积上的结合是 ulps。yayuyx*yauy + 0.5

所以我想我正在寻找第一个结果的证明，或者至少是确认它是正确的。

TIA系列

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在采纳了马克·迪金森（Mark Dickinson）在下面的评论中所说的话，并重新阅读了弗洛里安·洛伊奇（Florian Loitsch）的论文（来自上面的第二个公式），很明显，这个问题中的ulp是相对于潜在的非规范化结果而言的。例如，使用 Mark 给出的示例，并通过非 IEEE 方法计算乘以尾数并删除较低的 53 位（但必要时四舍五入）的乘积，我们得到

 x   = 0x1.8000000000000p-1
 y   = 0x1.4000000000000p+0
ya   = 0x1.3fffffffffff6p+0
x*y  = 0x0.f000000000000p+0 (denormalised)
x*ya - 0x0.ffffffffffff8p+8 (denormalised)

这是 8 ulp 的误差，并且在第二个公式的范围内。

浮点精度 IEEE-754

这两个结果都不正确：当您从一个比诺的底部移动到下面的比诺的顶部时，两者都忽略了 ulp 误差中产生的 2 倍“摆动”（同时保持相对误差不变）。对于更简单结果的反例，假设 IEEE 754 binary64 格式和语义，和（say ）。然后与真实结果相差 15 ulps。（舍入模式无关紧要，因为两种乘法都是精确的。所以我很想看看第二种说法的“证据”。x = 0.75y = 1.25uy = 10ya = 1.25 - 10 * 2**-52x * yax * y

0赞 john 8/7/2019

Florian Loitsch 的论文“Printing Floating-Point Numbers Quickly and Accurate with Integers”（引理 3.4）就是证明。这是一篇众所周知的论文，所以我可能歪曲了它所说的内容。

0赞 john 8/7/2019

@MarkDickinson 当你在保持相对误差不变的情况下说这句话是什么意思？我相信我引用的公式假设误差边界是相对于结果的。因此，在您引用的示例中，15 个 ulps 的误差是针对 or ？yax*ya

0赞 Mark Dickinson 8/7/2019

我的意思是结果（查看 y 的 ulps 是没有意义的，因为可能具有完全不同的量级）。我承认我对那篇论文中发生的事情感到困惑。有这样的陈述：“因为，对于 x⊗y，1 ulp = 2^（q+ex+ey） ......”（在引理 3.3 的证明中）这似乎是不对的，除非对 ULP 有一些非常规的定义 - 给定 x 的 binade 和 y 的 binade 的知识，有两种可能的 binade 可能会落地，因此的 ulp 有两种可能性。知道我错过了什么吗？15 * ulp(x*ya)x*yax*yx*y

0赞 Mark Dickinson 8/7/2019

啊，我想我明白了，仔细阅读：对于“diy_fp”类型，乘法结果不一定是归一化的，所以我认为在 ulp 的定义中有一些诡计（这不太明确）。因此，事实上，在那篇论文中，“ulp”的使用并不完全符合标准用法（或者更确切地说，与任何标准用法不完全匹配，因为无论如何，对于ulp的确切含义，特别是在基数幂边界附近，并没有普遍的共识）。以下是关于该主题的一些阅读材料。

答：

0赞 vinc17 9/23/2019 #1

如果您假设 ulps 是相对于近似值的（我相信另一种情况更困难，而且无论如何都不太有用），GNU MPFR 的 doc/algorithms.tex 文档有以下结果的证明，这里重写以遵循您的符号并简化为唯一的精度 p。

如果您有

|xa − x|≤用户体验 ·ULP（xa）
|ya − y|≤ uy ·ULP（亚）

则四舍五入到最接近的乘积的误差以 [（2 + 2^1−p）（UX + UY） + 1/2] ·ulp（）中。xa*ya

这通常比您给出的边界大，大约有 2 个因子。但是，您给出的绑定的有效性需要确认。一般来说，找到严格的误差范围是很困难的，因为当 ulp 在 2 的幂下变化 2 倍时，很容易丢失因子 2（摆动），这可能是由于次优证明或极端情况下的准确性实际损失。

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浮点乘法上的误差边界

Error bound on floating point multiplication

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