映射到同一双精度浮点数的两个 16 位十进制数字是多少？

发布这个问题后不久，我在链接文章的评论中找到了答案。 16 位小数

8.000 000 000 000 001

和

8.000 000 000 000 002

映射到同一个浮点数。

在 Python 中，我看到

>>> float(8.000000000000001) == float(8.000000000000002)
True

在双精度中，您有大约 52 个二进制精度（这转换为大约 15 个十进制数字），可以上下缩放指数“曲线”^（1）。这意味着，只有当 2 的所有这些幂都在该距离内（在曲线上）时，由二的幂组成的数字才可微分。

因此，几乎可以肯定的是，并且会变成相同的数字，因为第二个数字的两个项之间的距离在曲线上相差 60。250250 + 2-10

运行以下 C 代码可确认这一点：

#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main(void) {
    double d1 = pow(2, 50);
    double d2 = d1 + pow(2, -10);

    if (d1 == d2) puts("Same");
    return 0;
}

---

就精度为 16 位十进制位的两个数字而言，这也是可行的，就像大约 .这还不完全达到，所以你需要寻找的是大部分是零的数字，但在尾数的顶部和底部有一个重要的位。2524.5 x 10151016

这可以通过左边的 a 和右边的 a 来实现（以一种方式），所以和：919.0000000000000019.000000000000002

#include <stdio.h>

int main(void) {
    double d1 = 9.000000000000001;
    double d1 = 9.000000000000002;

    if (d1 == d2) puts("Same");
    return 0;
}

---

^（1）这里的曲线是指对数刻度，其中 和 之间的距离是 。2102133

数字的构造方式是尾数（或分数）位创建一个由连续的 2 幂形成的基数。因此，这些位可以创建 或 （实际上在 IEEE-754 的开头有一个隐式位，但为了简单起见，我们将忽略它）。10122 + 2051

然后使用指数位进行缩放，或乘以 2 的另一种幂，因此您可以例如将其乘以得到 或得到 。524 = 16802-10 = 1/10240.0048828125

而且，为了完整起见，单符号位决定它是正值还是负值。这两个，以及给你特殊数字（如和无穷大）的各种位模式，在这里也被忽略了，因为它们与问题并不真正相关。NaN

因此，为了使一个数字与另一个数字区分开来，最高有效和最不重要的位必须适合有限大小的尾数。

有关这一切如何工作的更多详细信息，请参阅我之前的回答。

让我们尝试以下形式的大 16 位十进制数字整数：9 xxx xxx xxx xxx xxx

#include <stdio.h>

int main() {
  //unsigned long long x0 = 9000000000000000;
  unsigned long long x0 = 1uLL << 53; // 9,007,199,254,740,992
  unsigned long long x1 = 9999999999999999;
  unsigned long long same = 0;
  for (unsigned long long x = x0; x <= x1; x++) {
    double f0 = (double) x;
    double f1 = (double) (x + 1);
    if (f0 == f1) {
      if (same++ == 0) {
        printf("%llu (0x%llX) %llu (0x%llX) both value the value of %f\n", //
            x, x, x + 1, x + 1, f0);
        break;
      }
    }
  }
  printf("Repeats = %llu\n", same);
}

我们很快发现

    9007199254740992 (0x20000000000000) 9007199254740993 (0x20000000000001) both value the value of 9007199254740992.000000
    Repeats = 1

9007199254740993 (0x20000000000001)是一个 54 位二进制数字值。普通双精度只能精确编码最多 53 位的二进制数字值。

---

另一种看待它的方式是鸽子洞原理。

给定每个 2 次幂 52 个二进制数字的通用编码。在 [0.5 ...1.0），有 2⁵² 或 4,503,599,627,370,496 个不同的值。然而，在该范围内，有 5,000,000,000,000,000 个不同的 16 位十进制值 （ = [5...9]， = [0-9]），因此没有足够的非重复值来唯一映射到该范围的所有 16 位十进制数字值。一些十进制值将映射到相同的 .doubledouble0.add ddd ddd ddd ddd daddoubledouble

#include <string.h>
#include <stdio.h>

int main() {
  //                  1234567890123456
  long long x1 =      9999999999999999; // 0x23 86F2 6FC0 FFFF
  char prior[40] = "0.9999999999999999";
  for (long long x = x1; --x > 0; ) {
    char buf[40];
    sprintf(buf, "0.%16lld", x);
    double value = atof(buf);
    if (value == atof(prior)) {
      printf("%s %s both have value %.20g\n", prior, buf, value);
      break;
    }
    strcpy(prior, buf);
  }
  printf("Done\n");
}

0.9999999999999995 0.9999999999999994 both have value 0.99999999999999944489
Done