提问人：Heygard Flisch 提问时间：2/1/2023 最后编辑：Heygard Flisch 更新时间：2/1/2023 访问量：343
浮点乘法即使四舍五入到最接近也会产生无穷大
Floating point multiplication results in infinity even though rounding to nearest
问：
请考虑以下 C++ 代码：
#include <fenv.h>
#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
fesetround(FE_TONEAREST);
double a = 0x1.efc7f0001p+376;
double b = -0x1.0fdfdp+961;
double c = a*b;
cout << a << " "<< b << " " << c << endl;
}
我看到的输出是
2.98077e+113 -2.06992e+289 -inf
我不明白为什么是无穷大。我的理解是，无论最小的非无穷浮点数是多少，它都应该更接近 than 的实际值，因为最小非无穷浮点数是有限的，任何有限数都比负无穷大更接近任何其他有限数。为什么这里输出无穷大？ca*b-inf
这是在 64 位 x86 上运行的，程序集使用 SSE 指令。它是用 -O0 编译的，并且与 clang 和 gcc 一起发生。
如果对浮点使用趋零舍入模式，则结果是最小有限浮点数。我的结论是，这个问题与四舍五入有关。
答：
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Adrian Mole
2/1/2023
#1
您注意到的行为（使用舍入模式时）符合 IEEE-754（或等效的 ISO/IEC/IEEE 60559：2011）标准。（您的示例表明您的平台使用 IEEE-754 表示形式，就像现在许多（如果不是大多数）平台一样。FE_TONEAREST
来自此维基百科页面的脚注 #18，其中引用了 IEEE-754 §4.3.1，处理“舍入到最接近”模式：
在以下两个舍入方向属性中，一个无限 量级至少为 bemax（b-1/2b（1-p）） 的精确结果应四舍五入为 ∞（无穷大），符号没有变化。
您的计算结果的“无限精确”结果确实大于指定值，因此舍入符合标准。a * b
我找不到类似的 IEEE-754 对“四舍五入到零”模式的引用，但这个 GNU libc 手册是这样说的：
向零四舍五入。
所有结果均四舍五入到最大值 其大小小于结果的可表示值。 换句话说，如果结果为负数，则四舍五入;如果是 正数，则向下舍入。
因此，同样，在使用该模式时，四舍五入是适当/一致的。-DBL_MAX
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Heygard Flisch
2/1/2023
谢谢，似乎“四舍五入到最接近”根本没有定义为总是四舍五入到最接近。
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Eric Postpischil
2/1/2023
@HeygardFlisch：根据 IEEE 754-2019 4.3，四舍五入到最接近定义为始终四舍五入到最接近。结果不是由四舍五入引起的;它是由溢出异常的默认结果引起的。换句话说，该操作没有“四舍五入到最接近”以获得无穷大。它四舍五入到最接近，确定不适合该格式，生成溢出异常，并且由于溢出异常被屏蔽（不生成中断/陷阱），因此提供了默认结果。
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Eric Postpischil
2/1/2023
#2
四舍五入不是这里的主要问题。无限的结果是由溢出引起的。
此答案遵循 IEEE 754-2019 中的规则。1.EFC7F000116•2376 和 −1.0FDFD961•216 的实数算术乘积约为 −1.07430C8649FEFE816•21335。在正常情况下，浮点运算会产生一个结果，“就好像它首先产生了一个精确到无限精度且范围无限的中间结果，然后将该结果四舍五入......”（IEEE 754-2019 4.3）。但是，我们没有正常条件。IEEE 754-2019 7.4说道：
当且仅当目标格式的最大有限数在量级上超过四舍五入浮点结果（参见 4）时，才会发出溢出异常信号，前提是指数范围是无界的......
换句话说，如果我们将结果四舍五入，就好像我们可以有任何指数一样（所以我们只是对有效数四舍五入），结果将是 −1.07430C8649FF+96416•21338。但其幅度超过了可以表示的最大有限数，±1.FFFFFFFFFFFFF16•21023。因此，会发出溢出异常信号，并且由于您未捕获异常，因此会传递默认结果：double
...默认结果应由舍入方向属性和中间结果的符号确定，如下所示：
a） roundTiesToEven 和 roundTiesToAway 将所有溢出带到 ∞，并带有中间结果的标志...
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doublelong double