如何编写通用的记忆函数？

function memoize (f)
   local cache = {}
   return function (x)
             if cache[x] then
                return cache[x]
             else
                local y = f(x)
                cache[x] = y
                return y
             end
          end
end

triangle = memoize(triangle);

请注意，为了避免堆栈溢出，仍然需要对三角形进行播种。

这是一个通用的 C# 3.0 实现，如果它可以帮助的话：

public static class Memoization
{
    public static Func<T, TResult> Memoize<T, TResult>(this Func<T, TResult> function)
    {
        var cache = new Dictionary<T, TResult>();
        var nullCache = default(TResult);
        var isNullCacheSet = false;
        return  parameter =>
                {
                    TResult value;

                    if (parameter == null && isNullCacheSet)
                    {
                        return nullCache;
                    }

                    if (parameter == null)
                    {
                        nullCache = function(parameter);
                        isNullCacheSet = true;
                        return nullCache;
                    }

                    if (cache.TryGetValue(parameter, out value))
                    {
                        return value;
                    }

                    value = function(parameter);
                    cache.Add(parameter, value);
                    return value;
                };
    }
}

（引自一篇法国博客文章)

在 Scala 中（未经测试）：

def memoize[A, B](f: (A)=>B) = {
  var cache = Map[A, B]()

  { x: A =>
    if (cache contains x) cache(x) else {
      val back = f(x)
      cache += (x -> back)

      back
    }
  }
}

请注意，这仅适用于 arity 1 的函数，但通过咖喱，您可以使其工作。更微妙的问题是，对于任何函数。解决此问题的一种非常狡猾的方法是如下所示：memoize(f) != memoize(f)f

val correctMem = memoize(memoize _)

我不认为这会编译，但它确实说明了这个想法。

你也问了错误的问题，因为你原来的问题;)

对于这种情况，这是一种更好的方法：

三角形（n） = n * （n - 1） / 2

此外，假设公式没有如此简洁的解决方案，记忆在这里仍然是一种糟糕的方法。在这种情况下，你最好只写一个简单的循环。有关更全面的讨论，请参阅此答案。

更新：评论者指出，记忆是优化递归的好方法。诚然，我以前没有考虑过这一点，因为我通常使用一种语言（C#），在这种语言中，通用记忆的构建并不是那么容易。牢记这一点，请看下面的帖子。

我认为 Luke 可能对这个问题有最合适的解决方案，但记忆通常不是解决任何堆栈溢出问题的方法。

堆栈溢出通常是由递归超出平台可以处理的深度引起的。语言有时支持“尾递归”，它重用当前调用的上下文，而不是为递归调用创建新的上下文。但是很多主流语言/平台不支持这一点。例如，C# 对尾递归没有固有的支持。64 位版本的 .NET JITter 可以将其作为 IL 级别的优化应用，如果需要支持 32 位平台，这几乎是无用的。

如果你的语言不支持尾递归，那么避免堆栈溢出的最佳选择是转换为显式循环（不那么优雅，但有时是必要的），或者找到一个非迭代算法，比如 Luke 为这个问题提供的算法。

扩展这个想法，还可以使用两个输入参数来记忆函数：

function memoize2 (f)
   local cache = {}
   return function (x, y)
             if cache[x..','..y] then
                return cache[x..','..y]
             else
                local z = f(x,y)
                cache[x..','..y] = z
                return z
             end
          end
end

请注意，参数顺序在缓存算法中很重要，因此，如果参数顺序在要记忆的函数中无关紧要，则在检查缓存之前对参数进行排序会增加缓存命中的几率。

但需要注意的是，有些功能无法盈利地记住。我写了 memoize2 来看看是否可以加快用于查找最大公约数的递归欧几里得算法。

function gcd (a, b) 
   if b == 0 then return a end
   return gcd(b, a%b)
end

事实证明，gcd 对记忆的反应并不好。它所做的计算远比缓存算法便宜。对于大数字，它很快就会终止。一段时间后，缓存变得非常大。这个算法可能尽可能快。

我敢打赌，这样的事情应该适用于 Lua 中的变量参数列表：

local function varg_tostring(...)
    local s = select(1, ...)
    for n = 2, select('#', ...) do
        s = s..","..select(n,...)
    end
    return s
end

local function memoize(f)
    local cache = {}
    return function (...)
        local al = varg_tostring(...)
        if cache[al] then
            return cache[al]
        else
            local y = f(...)
            cache[al] = y
            return y
        end
    end
end

您可能还可以使用带有 __tostring 的元表做一些聪明的事情，以便可以使用 tostring（） 转换参数列表。哦，可能性。

本着以不同语言发布记忆的脉络，我想用一个不改变语言的C++示例来回应@onebyone.livejournal.com。

首先，单个 arg 函数的记忆器：

template <class Result, class Arg, class ResultStore = std::map<Arg, Result> >
class memoizer1{
public:
    template <class F>
    const Result& operator()(F f, const Arg& a){
        typename ResultStore::const_iterator it = memo_.find(a);
        if(it == memo_.end()) {
            it = memo_.insert(make_pair(a, f(a))).first;
        }
        return it->second;
    }
private:
    ResultStore memo_;
};

只需创建一个记忆器的实例，向它输入您的函数和参数即可。只要确保不要在两个不同的函数之间共享同一个备忘录（但您可以在同一函数的不同实现之间共享它）。

接下来，一个驱动程序函数和一个实现。只有驱动程序函数需要是公开的 int fib（int）;司机 int fib_（int）;实现

实现：

int fib_(int n){
    ++total_ops;
    if(n == 0 || n == 1) 
        return 1;
    else
        return fib(n-1) + fib(n-2);
}

和司机，要记住

int fib(int n) {
    static memoizer1<int,int> memo;
    return memo(fib_, n);
}

显示 codepad.org 输出的永久链接。测量呼叫次数以验证正确性。（在此处插入单元测试...）

这仅记住一个输入函数。对多个参数或不同参数进行概括，作为读者的练习。

Mathematica 有一种特别巧妙的记忆方法，它依赖于哈希和函数调用使用相同的语法这一事实：

triangle[0] = 0;
triangle[x_] := triangle[x] = x + triangle[x-1]

就是这样。它之所以有效，是因为模式匹配函数调用的规则是这样的，它总是在更通用的定义之前使用更具体的定义。

当然，如前所述，此示例有一个封闭形式的解决方案：。斐波那契数列是添加记忆如何大幅加速的典型例子：triangle[x_] := x*(x+1)/2

fib[0] = 1;
fib[1] = 1;
fib[n_] := fib[n] = fib[n-1] + fib[n-2]

虽然这也有一个封闭形式的等价物，尽管更混乱：http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html

我不同意有人认为这不适合记忆，因为你可以“只使用一个循环”。记住的要点是，任何重复的函数调用都是 O（1） 时间。这比 O（n） 好得多。事实上，您甚至可以编造一个场景，其中记忆的实现比封闭形式的实现具有更好的性能！

在 Perl 中，通用记忆很容易获得。Memoize 模块是 perl 核心的一部分，具有高度可靠、灵活且易于使用的功能。

手册页中的示例：

# This is the documentation for Memoize 1.01
use Memoize;
memoize('slow_function');
slow_function(arguments);    # Is faster than it was before

您可以在运行时添加、删除和自定义函数的记忆！您可以为自定义纪念品计算提供回调。

Memoize.pm 甚至具有使纪念品缓存持久化的工具，因此不需要在每次调用程序时重新填充它！

文档如下：http://perldoc.perl.org/5.8.8/Memoize.html

这是在不将参数转换为字符串的情况下工作的东西。 唯一需要注意的是，它不能处理 nil 参数。但是公认的解决方案无法区分值和字符串，所以这可能没问题。nil"nil"

local function m(f)
  local t = { }
  local function mf(x, ...) -- memoized f
    assert(x ~= nil, 'nil passed to memoized function')
    if select('#', ...) > 0 then
      t[x] = t[x] or m(function(...) return f(x, ...) end)
      return t[x](...)
    else
      t[x] = t[x] or f(x)
      assert(t[x] ~= nil, 'memoized function returns nil')
      return t[x]
    end
  end
  return mf
end

我受到这个问题的启发，在 Lua 中实现了（另一个）灵活的记忆功能。

https://github.com/kikito/memoize.lua

主要优点：

• 接受可变数量的参数
• 不使用 tostring;相反，它将缓存组织在树结构中，并使用参数遍历它。
• 适用于返回多个值的函数。

将代码粘贴到此处作为参考：

local globalCache = {}

local function getFromCache(cache, args)
  local node = cache
  for i=1, #args do
    if not node.children then return {} end
    node = node.children[args[i]]
    if not node then return {} end
  end
  return node.results
end

local function insertInCache(cache, args, results)
  local arg
  local node = cache
  for i=1, #args do
    arg = args[i]
    node.children = node.children or {}
    node.children[arg] = node.children[arg] or {}
    node = node.children[arg]
  end
  node.results = results
end


-- public function

local function memoize(f)
  globalCache[f] = { results = {} }
  return function (...)
    local results = getFromCache( globalCache[f], {...} )

    if #results == 0 then
      results = { f(...) }
      insertInCache(globalCache[f], {...}, results)
    end

    return unpack(results)
  end
end

return memoize

在 C# 3.0 中 - 对于递归函数，您可以执行如下操作：

public static class Helpers
{
    public static Func<A, R> Memoize<A, R>(this Func<A, Func<A,R>,  R> f)
    {
        var map = new Dictionary<A, R>();
        Func<A, R> self = null;
        self = (a) =>
        {
            R value;
            if (map.TryGetValue(a, out value))
                return value;
            value = f(a, self);
            map.Add(a, value);
            return value;
        };
        return self;
    }        
}

然后，您可以创建一个记忆的斐波那契函数，如下所示：

var memoized_fib = Helpers.Memoize<int, int>((n,fib) => n > 1 ? fib(n - 1) + fib(n - 2) : n);
Console.WriteLine(memoized_fib(40));

递归不是必需的。第 n 个三角形数是 n（n-1）/2，所以......

public int triangle(final int n){
   return n * (n - 1) / 2;
}

请不要重复这个。要么使用 x*（x+1）/2 公式，要么简单地迭代值并边走边记住。

int[] memo = new int[n+1];
int sum = 0;
for(int i = 0; i <= n; ++i)
{
  sum+=i;
  memo[i] = sum;
}
return memo[n];