找出平面上的 4 个点是否形成一个矩形？

struct point
{
    int x, y;
}

// tests if angle abc is a right angle
int IsOrthogonal(point a, point b, point c)
{
    return (b.x - a.x) * (b.x - c.x) + (b.y - a.y) * (b.y - c.y) == 0;
}

int IsRectangle(point a, point b, point c, point d)
{
    return
        IsOrthogonal(a, b, c) &&
        IsOrthogonal(b, c, d) &&
        IsOrthogonal(c, d, a);
}

如果事先不知道订单，我们需要稍微复杂的检查：

int IsRectangleAnyOrder(point a, point b, point c, point d)
{
    return IsRectangle(a, b, c, d) ||
           IsRectangle(b, c, a, d) ||
           IsRectangle(c, a, b, d);
}

• 求角点质心：cx=（x1+x2+x3+x4）/4， cy=（y1+y2+y3+y4）/4
• 检验从质心到所有 4 个角的距离的平方是否相等

bool isRectangle(double x1, double y1,
                 double x2, double y2,
                 double x3, double y3,
                 double x4, double y4)
{
  double cx,cy;
  double dd1,dd2,dd3,dd4;

  cx=(x1+x2+x3+x4)/4;
  cy=(y1+y2+y3+y4)/4;

  dd1=sqr(cx-x1)+sqr(cy-y1);
  dd2=sqr(cx-x2)+sqr(cy-y2);
  dd3=sqr(cx-x3)+sqr(cy-y3);
  dd4=sqr(cx-x4)+sqr(cy-y4);
  return dd1==dd2 && dd1==dd3 && dd1==dd4;
}

（当然，在实践中，两个浮点数 a 和 b 的相等性测试应该以有限的精度进行：例如 abs（a-b） < 1E-6）

如果点是 A、B、C 和 D，并且您知道顺序，那么您可以计算向量：

x=B-A、y=C-B、z=D-C 和 w=A-D

然后取点积 （x dot y）、（y dot z）、（z dot w） 和 （w dot x）。如果它们都为零，那么你就有一个矩形。

我们知道，如果两条直线的斜率乘积为 -1，那么两条稳直线是垂直的，因为给定了一个平面，我们可以找到三条连续线的斜率，然后将它们相乘以检查它们是否真的垂直。假设我们有 L1、L2、L3 行。现在，如果 L1 垂直于 L2 并且 L2 垂直于 L3，那么它是 m（L1）*m（L2）=-1 和 m（L2）*m（L3）=-1 的矩形和斜率，那么它意味着它是一个矩形。代码如下

bool isRectangle(double x1,double y1,
        double x2,double y2,
        double x3,double y3,
        double x4,double y4){
    double m1,m2,m3;
    m1 = (y2-y1)/(x2-x1);
    m2 = (y2-y3)/(x2-x3);
    m3 = (y4-y3)/(x4-x3);

    if((m1*m2)==-1 && (m2*m3)==-1)
        return true;
    else
        return false;
}

从一个点到另一个 3 点的距离应形成一个直角三角形：

|   /      /|
|  /      / |
| /      /  |
|/___   /___|

d1 = sqrt( (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 ) 
d2 = sqrt( (x3-x1)^2 + (y3-y1)^2 ) 
d3 = sqrt( (x4-x1)^2 + (y4-y1)^2 ) 
if d1^2 == d2^2 + d3^2 then it's a rectangle

简化：

d1 = (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2
d2 = (x3-x1)^2 + (y3-y1)^2
d3 = (x4-x1)^2 + (y4-y1)^2
if d1 == d2+d3 or d2 == d1+d3 or d3 == d1+d2 then return true

将点积建议更进一步，检查由点的任意 3 个点组成的两个向量是否垂直，然后查看 x 和 y 是否与第四个点匹配。

如果您有点 [Ax，Ay] [Bx，By] [Cx，Cy] [Dx，Dy]

向量 v = B-A 向量 u = C-A

v（点）u/|v||u|== cos（theta）

因此，如果 （v.u == 0） 那里有几条垂直线。

我实际上不懂 C 编程，但这里有一些“元”编程:P

if (v==[0,0] || u==[0,0] || u==v || D==A) {not a rectangle, not even a quadrilateral}

var dot = (v1*u1 + v2*u2); //computes the "top half" of (v.u/|v||u|)
if (dot == 0) { //potentially a rectangle if true

    if (Dy==By && Dx==Cx){
     is a rectangle
    }

    else if (Dx==Bx && Dy==Cy){
     is a rectangle
    }
}
else {not a rectangle}

这其中没有平方根，也没有除以零的可能性。我注意到人们在之前的帖子中提到了这些问题，所以我想我会提供一个替代方案。

因此，在计算上，你需要四次减法才能得到 v 和 u，两次乘法，一次加法，你必须检查 1 到 7 之间的某个等式。

也许我是在编造这个，但我隐约记得在某处读到减法和乘法是“更快”的计算。我假设声明变量/数组并设置它们的值也很快？

对不起，我对这种事情很陌生，所以我很想对我刚刚写的内容提供一些反馈。

编辑：根据我在下面的评论尝试一下：

A = [a1,a2];
B = [b1,b2];
C = [c1,c2];
D = [d1,d2];

u = (b1-a1,b2-a2);
v = (c1-a1,c2-a2);

if ( u==0 || v==0 || A==D || u==v)
    {!rectangle} // get the obvious out of the way

var dot = u1*v1 + u2*v2;
var pgram = [a1+u1+v1,a2+u2+v2]
if (dot == 0 && pgram == D) {rectangle} // will be true 50% of the time if rectangle
else if (pgram == D) {
    w = [d1-a1,d2-a2];

    if (w1*u1 + w2*u2 == 0) {rectangle} //25% chance
    else if (w1*v1 + w2*v2 == 0) {rectangle} //25% chance

    else {!rectangle}
}
else {!rectangle}

• 平移四边形，使其一个顶点现在位于原点
• 剩下的三个点从原点形成三个向量
• 其中一个必须代表对角线
• 另外两个必须代表双方
• 根据平行四边形规则，如果边形成对角线，我们有一个平行四边形
• 如果边形成直角，则为直角平行四边形
• 平行四边形的相反角相等
• 平行四边形的连续角是补充的
• 因此，所有角度都是直角
• 它是一个矩形

• 不过，它在代码中要简洁得多：-）

  static bool IsRectangle(
     int x1, int y1, int x2, int y2, 
     int x3, int y3, int x4, int y4)
  {
      x2 -= x1; x3 -= x1; x4 -= x1; y2 -= y1; y3 -= y1; y4 -= y1;
      return
          (x2 + x3 == x4 && y2 + y3 == y4 && x2 * x3 == -y2 * y3) ||
          (x2 + x4 == x3 && y2 + y4 == y3 && x2 * x4 == -y2 * y4) ||
          (x3 + x4 == x2 && y3 + y4 == y2 && x3 * x4 == -y3 * y4);
  }
  

• （如果你想让它与浮点值一起工作，请不要盲目地替换标头中的 int 声明。这是不好的做法。他们在那里是有原因的。在比较浮点结果时，应始终使用误差的上限。

1. Find all possible distances between given 4 points. (we will have 6 distances)
2. XOR all distances found in step #1
3. If the result after XORing is 0 then given 4 points are definitely vertices of a square or a rectangle otherwise, return false (given 4 points do not form a rectangle).
4. Now, to differentiate between square and rectangle 
   a. Find the largest distance out of 4 distances found in step #1. 
   b. Check if the largest distance / Math.sqrt (2) is equal to any other distance.
   c. If answer is No, then given four points form a rectangle otherwise they form a square.

在这里，我们使用矩形/正方形和 Bit Magic 的几何属性。

起作用的矩形属性

1. 矩形的相对边和对角线的长度相等。
2. 如果矩形的对角线长度是其任意长度的 sqrt（2） 倍，则该矩形为正方形。

比特魔术

1. 异或等值数返回 0。

由于矩形的 4 个角之间的距离将始终形成 3 对，一对用于对角线，两对用于不同长度的每条边，因此对所有值进行异或运算将返回矩形的 0。

如何验证这 4 个点可以先形成一个平行四边形，然后找出是否存在一个直角。
1. 验证平行四边形

input 4 points A, B, C, D;

if(A, B, C, D are the same points), exit;// not a rectangle;

else form 3 vectors, AB, AC, AD, verify(AB=AC+AD || AC=AB+AD || AD=AB+AC), \\if one of them satisfied, this is a parallelogram;

2.验证直角

through the last step, we could find which two points are the adjacent points of A;

We need to find out if angle A is a right angle, if it is, then rectangle.

我不知道是否存在错误。如果有的话，请弄清楚。

我最近也面临着类似的挑战，但是在Python中，这是我在Python中想出的，也许这种方法可能很有价值。这个想法是有六条线，如果创建成一个集合，应该还剩下 3 个唯一的线距离——长度、宽度和对角线。

def con_rec(a,b,c,d): 
        d1 = a.distanceFromPoint(b)
        d2 = b.distanceFromPoint(c)
        d3 = c.distanceFromPoint(d)
        d4 = d.distanceFromPoint(a)
        d5 = d.distanceFromPoint(b)
        d6 = a.distanceFromPoint(c)
        lst = [d1,d2,d3,d4,d5,d6] # list of all combinations 
        of point to point distances
        if min(lst) * math.sqrt(2) == max(lst): # this confirms a square, not a rectangle
            return False
        z = set(lst) # set of unique values in ck
        if len(lst) == 3: # there should be three values, length, width, diagonal, if a 
        4th, it's not a rectangle
            return True
        else: # not a rectangle
            return False

这是我的算法建议，用于轴对齐的矩形测试，但在 Python 中。

这个想法是抓住第一个点作为枢轴，所有其他点必须符合相同的宽度和高度，并通过一个集合检查所有点是否不同，以解释诸如 （1， 2）、（1， 2）、（10， 30）、（10， 30） 等情况。

from collections import namedtuple

Point = namedtuple('Point', ('x', 'y'))

def is_rectangle(p1, p2, p3, p4) -> bool:
    width = None
    height = None

    # All must be distinct
    if (len(set((p1, p2, p3, p4))) < 4):
        return False

    pivot = p1

    for point in (p2, p3, p4):
        candidate_width = point.x - pivot.x
        candidate_height = point.y - pivot.y

        if (candidate_width != 0):
            if (width is None):
                width = candidate_width
            elif (width != candidate_width):
                return False

        if (candidate_height != 0):
            if (height is None):
                height = candidate_height
            elif (height != candidate_height):
                return False

    return width is not None and height is not None

# Some Examples
print(is_rectangle(Point(10, 50), Point(20, 50), Point(10, 40), Point(20, 40)))
print(is_rectangle(Point(100, 50), Point(20, 50), Point(10, 40), Point(20, 40)))
print(is_rectangle(Point(10, 10), Point(20, 50), Point(10, 40), Point(20, 40)))
print(is_rectangle(Point(10, 30), Point(20, 30), Point(10, 30), Point(20, 30)))
print(is_rectangle(Point(10, 30), Point(10, 30), Point(10, 30), Point(10, 30)))
print(is_rectangle(Point(1, 2), Point(10, 30), Point(1, 2), Point(10, 30)))
print(is_rectangle(Point(10, 50), Point(80, 50), Point(10, 40), Point(80, 40)))