找到 x 和 y，使得 x^y = y^x [关闭]

Finding x and y such that x^y = y^x [closed]

提问人：AlHal 提问时间：11/10/2023 更新时间：11/10/2023 访问量：36

问：

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12天前关闭。

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如何找到 x 和 y 的值，其中 x 的 y 的幂 = y 的 x 的幂。我看着 https://www.quora.com/If-x-y-y-x-what-are-x-and-y。 它似乎错过了 2 和 4。
从数学上讲，如何完成图形并找到值？

情况 1：“x”和“y”不同。

我们先来取等式两边的自然对数（ln）：

ln（x^y） = ln（y^x）

使用对数的性质 （ln（a^b） = b * ln（a）），我们可以进一步简化方程：

⇒ y * ln（x） = x * ln（y）

⇒ ln（x）/x = ln（y）/y = k （say）

如果我们仔细观察它们，我们可以发现“x”和“y”可能是代入函数 f（x） = ln（x）/x 的值，然后当该图的交集与 y = k 的图（某个任意常数）相交时，得到“y”

（“x”和“y”是值，不要将它们与 x 和 y 坐标轴混淆）

数学

评论

答：

1赞 Fredy 11/10/2023 #1

这不是编程或编码问题，是吗？ 对于您的“哲学”问题，您已经回答了不要与坐标混淆。在您的链接中，他们说 y 大约是 0,3，这也非常令人困惑，因为它是 ln（2）/2 和 ln（4）/4 的（错误）近似值。如果事实如此，这只是一个例子。在e（2.71...欧拉连续）之前和之后有一对对应值，这是点在最大值处的横坐标，可以验证您的方程。您可以看到 x = 2 和 x = 4 是对应的（曲线上的点具有相同的纵坐标） geogebra 草图显示了一个应该移动的光标...... 此外，这是对现象的更好看法。enter image description here

评论

0赞 Stef 11/10/2023
通过观察这条曲线，很容易证明 2^4 = 4^2 实际上是唯一的整数解。
0赞 Fredy 11/10/2023
@stef，如果你论证正确，这在数学上确实很容易。就我个人而言，我发现有趣的是，非整数解也存在。一个人的头脑必须将迭代乘积（x^n，n：整数）的概念扩展到x^a（a：实数）。这种“量子转变”在数学中经常出现（例如导数的概念）。另一方面，如果 OP 是按代码计算的，我们可能会谈论二分法或任何找到方程解近似值的方法。

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