如何在 R 中生成一个向量 x，使其外积为正定？-解网

问：

set.seed(3)
n <- 5  
x <- rnorm(n)

# Compute x x^T
xxT <- outer(x, x)

library(matrixcalc)
> is.positive.definite(xxT)
[1] FALSE

上述方法并不能保证 xx^T 是正定的。解决方法是什么？

R 数学矩阵

在数学上，如果长度大于，则为正半定而不是正定，因为您总能找到任何给定向量的零空间。这意味着，你总能找到一个非零矩阵，其空空间包含，使得 -> -> -> ，其中是一个全零向量。x1xxTxAxt(v) %*% xxT %*% v(t(v)%*%x) %*% t(t(v) %*% x)0 %*% t(0)00

在您的示例中，您可以看到 null 可以通过xx

> (nulls <- MASS::Null(x))
            [,1]        [,2]        [,3]        [,4]
[1,] -0.18713251  0.16555019 -0.73703375  0.12524482
[2,]  0.97832152  0.01917826 -0.08538212  0.01450906
[3,]  0.01917826  0.98303360  0.07553485 -0.01283571
[4,] -0.08538212  0.07553485  0.66371688  0.05714490
[5,]  0.01450906 -0.01283571  0.05714490  0.99028931

并通过以下方式进行验证nulls

> crossprod(nulls, x)
              [,1]
[1,] -4.640385e-17
[2,] -3.729655e-17
[3,]  9.887924e-17
[4,]  5.551115e-17

从这个意义上说，来自所跨越空间的任何向量都将导致，因此不是正定的，而是正的半定的。vnullst(v) %*% xxT %*% v == 0

几个吹毛求疵：（1）是（微不足道的）正定的，当是 1 并且不为零时。（2）你说，“你总能在零空间找到一个非零向量”，但我认为你的意思是，“你总能找到一个非零矩阵，它的零空间包含......？然后，该矩阵的任何非零行都将用作您的...tcrossprod(x)length(x)xvxAxv

0赞 ThomasIsCoding 9/26/2023

@MikaelJagan 感谢您的严谨描述。在答案中更新。

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如何在 R 中生成一个向量 x，使其外积为正定？

How to generate a vector x in R such that its outer product is positive definite?

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