在 R 中实现 Legendre 函数-解网

问：

我想用 R 编写一个函数，该函数根据次数 $\nu$ 和阶数 $m$ 的勒让德函数定义，其中这些函数可能是分数。我想实现的函数位于此积分表中结果 3.664.4 的右侧。

有人可以帮我在 R 中重现这个比 Pracma 包中提供的函数更通用的 Legendre 函数吗？为了仔细检查它是否有效，也许重现此处给出的参数 $1/\psi$ 和 $0$ 的概率密度会很有用。这是为数不多的使用这种更通用形式的 Legendre 函数的 R 函数示例之一。

R 函数数学

我没有投反对票，但我认为这个问题要求很高。除非有人碰巧有一个解决方案，或者做了一些非常相似的事情，否则要回答这个问题，我们必须深入研究参考资料，弄清楚所有符号指的是什么，看看这些特殊功能是否在某个地方实现，或者它们是否可以合理地轻松/稳定地实现，......再说一遍，你试过什么？

答：

1赞 ThomasIsCoding 7/25/2023 #1

从数值计算的角度来看，也许你可以根据积分表达式来定义函数，例如，

f <- function(z, mu, nu) {
    integrand <- function(x) {
        (z + sqrt(z^2 - 1) * cos(x))^mu * sin(x)^(2 * nu - 1)
    }
    if (!is.complex(z) && abs(z) < 1) {
        z <- as.complex(z)
    }
    re <- integrate(\(x) Re(integrand(x)), 0, pi)$value
    im <- integrate(\(x) Im(integrand(x)), 0, pi)$value
    ifelse(im == 0, re, re + 1i * im)
}

我对勒让德函数或多项式没有太多经验，但您可以尝试验证它是否正常工作。

这是一个很好的解决方案，尽管我试图在将它应用于具有 x，k，p 和 m 的合适值的密度时对其进行测试 [ jpd <-function（x，k，p，m） {（cosh（k p）+sinh（k p）*cos（x-m））^（1/p）/（2*pif（cosh（kp），1/p，0））} ] 并且它似乎引发了错误“积分错误（函数（x） Re（integrand（x））， 0， pi）：在外推表中检测到舍入误差”。我对 R 不太熟悉，并且我仍处于学习曲线上，因此在识别和解决这些问题方面的任何帮助将不胜感激。感谢您到目前为止对此问题的贡献。你一直很有帮助。

1赞 Will 7/26/2023

更新：修复了问题

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在 R 中实现 Legendre 函数

Implementing the Legendre Function in R

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