提问人：Nico Schlömer 提问时间：2/21/2018 最后编辑：AndrewNico Schlömer 更新时间：2/27/2022 访问量：175
A+B+C 的 add3 指令，单次舍入
add3 instruction for a+b+c with one single rounding
问：
背景
众所周知，两个浮点数的确切乘积并不总是浮点数，但误差是。一些精确乘法代码通过返回两个数字来利用这一点exact(a*b) - float(a*b)
res = a * b
err = fma(a, b, -res)
这利用了 fused-multiply-add 指令，该指令以一次舍入返回表达式。(a*b)+c
问题
现在，我想对总和做同样的事情，即
res = a + b
err = add3(a, b, -res)
add3应该返回一个四舍五入的表达式。(a+b)+c
除了这篇文章之外，我无法找到现实世界中实际存在的提示。add3
是否有包含 的 CPU 指令集？有没有语言实现它？add3
答：
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Eric Postpischil
12/2/2023
#1
问题中请求的 和 由 Jean-Michel Muller 等人的《浮点算术手册》中的 Fast2Sum 算法提供，Birkhäuser，2009 年，第 126 页，第 4.3.1 节“Fast2Sum 算法”。该书将其归功于 1971 年的 Dekker，而 Kahan 在 1965 年更早地介绍了它的运作：errres
给定一个底数小于或等于 3 的浮点格式，具有次正态数，以及 numbers 并可用该格式表示 ||≥ ||，然后使用四舍五入到最接近：abab
s = a+b;
z = s-a;
t = b-z;
计算，例如最接近 + 和 + = + 的浮点数。（因此，和是问题中请求的和。stsabstabstreserr
||≥ ||绰绰有余;该算法只要求 的浮点指数至少是 的指数，但仅仅比较这些值可能更容易。因此，一个完整的实现需要类似于上述代码之前的内容。ababif (fabs(b) > fabs(a)) swap(&a, &b);
书中有一个证据。（证明有一个勘误表;它假设，在不损失一般性的情况下，> 0。这可能会在第二版中得到纠正。a
这不提供建议的一般功能，仅提供特定情况。 由 Boldo 和 Melquiond 在第 201 页第 6.3.4 节中的函数提供。它操纵浮点数的编码，这引发了性能和可移植性问题。这种操作仅限于递增或递减，因此标准 C 函数可以代替它，尽管这对性能来说不一定更好。add3add3CorrectRoundedSum3nexttoward
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Nico Schlömer
12/3/2023
这是我链接的文章中的算法 1.1。指令的想法是将最后两个步骤合并为一个操作。add3add3(a, b, -s)
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ssefma()add3fmasseadd3errres