用非常接近 1 的数字计算 atanh

Calculate atanh with numbers very close to 1

提问人：Tomaz 提问时间：3/26/2023 最后编辑：MvGTomaz 更新时间：4/2/2023 访问量：117

问：

我需要非常精确地计算反双曲正切。所讨论的等式是 where 应该在 240 的量级，并返回近似值 -276.65。-atanh(1/ (1 + 10**-x))x

我尝试了 python 提供的一些库，例如 numpy、math 和 mpmath，但是，我可以使用的最大“x”值是 17。对于大于 17 的“x”，我收到 -inf 或域错误。

Python 数学 精度

评论

2赞 cards 3/26/2023
你能提供一些代码吗？
0赞 Code-Apprentice 3/26/2023
当我尝试 和 时，我收到一个错误 （-inf'.x = 240-atanh(1/ (1 + 10**-x))ValueError: math domain error), not
1赞 chepner 3/26/2023
10**-240小于 ，这意味着您的分母将是 1。sys.float_info.epsilon
3赞 ProfDFrancis 3/26/2023
从定义函数开始。你的意思是 A） 弧余切吗？即反共切，cot^-1，B）反正切？即 atan 或 tan-1，C） atanh，反双曲正切，这是您的公式使用的。请完整地写出来，举一个明确的例子，说明（x的值是合理的，例如4），你期望什么值。然后，人们将能够检查他们对您所问内容的理解。

答：

2赞 MvG 3/26/2023 #1

您所需要的只是 https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_functions。

你有但是.所以代替你可以写.tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)coth(x) = cosh(x)/sinh(x)artanh(1/(1+ε))arcoth(1+ε)

然后你可以用对数来表示。在维基百科上，您可以找到.所以成为.arcoth(x) = ½ ln((x+1)/(x-1))arcoth(1+ε)½ ln((2+ε)/ε)

这是你可以输入到 Python 中的东西。记住你在整个表达式前面有一个负号，你可以把它写成

eps = 10**(-x)  # e.g. eps = 1e-240
res = -0.5 * math.log((2 + eps)/eps)

如果 eps 和你指示的一样小，分子将四舍五入，但分母应该有足够的精度来使整个事情正常工作。它适用于您的示例：我得到了正确的结果更像（在 Sage 中使用计算以获得数字误差的保证），因此我们从双精度算术中获得的所有数字都几乎是正确的。2-276.6567847495655-276.65678474956545473686759RealIntervalField(1024)

上一个：为什么应用 cv2.normalize 后的最小值不完全为零？

下一个：关于比较浮点数的公差和公式的原则性推理？