浮点不准确以奇怪的方式破坏了幂等性

问：

我想知道在归一化矢量（特别是 3D 矢量）时，浮点误差会有多严重。归一化一次应该给出与归一化两次相同的值，但正如预期的那样，浮点不准确并不能保证我们这一点。因此，我决定测试一些其他东西：如果你无限期地归一化，它会总是“收敛”到一个归一化为自身的值吗？答案是否定的。例如，几秒钟的测试，我发现了一个在 2： 和 之间循环的值。有些在 3、5 步后“收敛”。这是我无聊的代码：-0.60445204839058564 -0.54547899327834748 -0.58059485795902943-0.60445204839058575 -0.54547899327834759 -0.58059485795902954

#include <iostream>
#include <numeric>
#include <random>

using namespace std;

struct Point
{
    double x, y, z;
    bool operator==(const Point& o) const
    {
        return
            x == o.x &&
            y == o.y &&
            z == o.z;
    }
};

auto square(auto x)
{
    return x * x;
}

Point normalize(const Point& p)
{
    auto l = sqrt(square(p.x) + square(p.y) + square(p.z));
    return { p.x / l, p.y / l, p.z / l };
}

std::mt19937 mt(24);
std::uniform_real_distribution d(-1., 1.);

int main()
{
    while (true)
    {
        auto
            x = d(mt),
            y = d(mt),
            z = d(mt);

        Point p{ x, y, z };

        auto
            n1 = normalize(p),
            n2 = normalize(normalize(p));
        int cnt = 1;
        while (n1 != n2)
        {
            n1 = n2;
            cnt++;
            n2 = normalize(n2);
            auto len = square(n2.x) + square(n2.y) + square(n2.z);
            if (len != 1.)
            {
                __debugbreak();
            }
        }
        if (cnt != 2)
        {
            cout << x << ' ' << y << ' ' << z
                << " took " << cnt << '\n';
        }
    }
}

所以我有一些好奇心：

1. 哪些输入会产生最长的循环/周期，并且永远不会收敛？
2. 哪些输入需要最长的时间才能收敛？
3. 归一化一次后，什么输入给出长度为 1 的最大误差？