获得两个“接近”IEEE754双精度值之间的“精确”差异？

问：

我什至不确定我所要求的是否可能，但这里是：

我们的 C++ 代码执行以下计算：

double get_delta(double lhs, double rhs) {
  return lhs - rhs;
}

并且输入（最接近的 double to），这不会产生“最接近”的 double 到 ，而是产生一个更接近 的值。655.36655.340.020.019999..

当然，我们不能指望IEEE双精度计算的精确结果，但我想知道是否可以改进朴素的delta计算，以更接近我们的预期：

鉴于两个输入值可以非常精确地表示（15 位数字，见下文），不幸的是，但意料之中的是，差异没有相同的精度（与理想结果相比）：

从以下值可以看出，通过相互减去两个值，生成的增量值的有效位数低于两个起始值。

虽然示例值最多精确到 16 位十进制数字（DBL_DIG毕竟是 15 位），但生成的增量值最多只能精确到 13 位十进制数字。也就是说，第 13 位之后的所有数字都由原始值中数字 16 之后的噪声组成。

因此，在这种情况下，将增量值四舍五入为 13 位有效十进制数字将再次产生“正确”结果，因为它会给我 .0.02d

因此，问题可能就变成了：

假设两个减法值 a - b 都假定为双精度，即 15 位有效十进制数字的精度，如何计算结果差值的精度？

具体而言：

655.36 === 6.55360000000000013642420526594 E2  [v1]
655.34 === 6.55340000000000031832314562052 E2  [v2]
           ^                ^
           1                17

  0.02 === 2.00000000000000004163336342344 E-2 [v3]

655.36
-      === 1.9999999999981810106 E-2 (as calculated in MSVC 2019) [v4]
655.34
           ^            ^   ^
           1            13  17

根据要求，这里有一个生成和打印相关数字的C++程序：https://gist.github.com/bilbothebaggins/d8a44d38b4b54bfefbb67feb5baad0f5

从 C++ 打印的数字是：

'a'@14: 6.55360000000000e+02
' '@__: ................
'a'@18: 6.553600000000000136e+02
'a'@XX: 0x40847ae147ae147b

'b'@14: 6.55340000000000e+02
' '@__: ................
'b'@18: 6.553400000000000318e+02
'b'@XX: 0x40847ab851eb851f

'd'@14: 1.99999999999818e-02
' '@__: ................
'd'@18: 1.999999999998181011e-02
'd'@XX: 0x3f947ae147ae0000

'2'@14: 2.00000000000000e-02
' '@__: ................
'2'@18: 2.000000000000000042e-02
'2'@XX: 0x3f947ae147ae147b

增量后来被用于一些乘法，这自然会使误差进一步恶化。

有没有办法以更复杂的方式进行增量计算，以便我们更接近“正确”答案？

我目前的想法是：

如果我们要使用无限精度类型进行计算，给定 double 的输入，我们首先必须决定如何将给定的 double 四舍五入为我们的无限精度类型。

比如说，我们四舍五入到 15 位十进制数字（这对于我们用例的输入来说已经足够了），我们将得到精确的值——即 完全。如果我们再计算无限精度增量，我们将得到确切的结果。如果我们将该值转换回 double，我们将得到该值而不是“错误”的值。655.3?0.02v3v4

那么，有没有办法对起始值进行归一化，以便在纯IEEE754计算中复制这个（舍入）过程？