如何比较两个数学库实现？

一些想法：

• 您可以使用 GNU 多精度算术库 （GnuMP） 生成良好的参考结果。
• 可以详尽地测试大多数（如果不是全部）单参数单精度 （IEEE-754 binary32） 例程。（对于某些 macOS 三角例程，例如 ，我们详尽地测试了一个实现，验证它是否返回了忠实的舍入结果，这意味着结果是数学值 [如果可表示] 或两个相邻值之一 [如果不是]。然后，在更改实现时，我们将一个与另一个进行比较。如果新实现结果与旧实现结果相同，则通过。否则，将使用 GnuMP 对其进行测试。由于新实现与旧实现基本一致，这导致很少调用 GnuMP，因此如果我没记错的话，我们能够在大约三分钟内详尽地测试一个新的例程实现。sinf
• 详尽地测试多参数或双精度例程是不可行的。
• 在比较实现时，您必须选择一个或多个指标。具有良好最坏情况错误的库适用于证明;它的边界可以被断言为对任何参数都成立，并且可用于在后续计算中推导出进一步的边界。但是，对于使用大型数据数组的物理模拟，具有良好平均误差的库可能倾向于产生更好的结果。对于某些应用，只有“正常”域中的误差可能是相关的（角度约为 −2π 至 +2π），因此减少大型参数（最多约 10³⁰⁸）的误差可能无关紧要，因为这些参数从未使用过。
• 有一些共同点应该测试各种例程。例如，对于三角函数例程，在π的不同分数下进行测试。除了在数学上很有趣之外，这些往往是实现在内部近似值之间切换的地方。还要测试可表示但恰好非常接近简单分数π倍数的大数。这些是参数减少的最坏情况，如果操作不当，可能会产生巨大的相对误差。他们需要数论才能找到。以任何一种散射方法进行测试，甚至是没有考虑这个约简问题的有序方法，都无法找到这些麻烦的论点，因此很容易将存在巨大错误的例程报告为准确。
• 另一方面，有一些重要的测试点，如果没有对实现的内部了解，就无法知道。例如，在设计正弦例程时，我会使用 Remez 算法来找到一个最小最大多项式，目标是从 –π/2 到 +π/2 （对于这种事情来说相当大，但只是举例）。然后，我会查看在参数缩减过程中可能发生的算术和舍入错误。有时，它们会在该间隔之外产生一个结果。因此，我会回到最小最大多项式生成，并推动稍大的区间。我也会寻求减少参数的改进。最后，我最终会得到一个保证在特定区间内产生结果的约简，以及一个已知在该区间内达到一定精度的多项式。为了测试我的例程，你需要知道该区间的端点，并且你必须能够找到一些参数，这些参数的参数缩减会在这些端点附近产生点，这意味着你必须对我的参数缩减是如何实现的有所了解——它使用了多少位，等等。就像上面提到的麻烦的论点一样，这些观点无法用散射的方法找到。但与上述不同的是，它们不能从纯数学中找到;您需要有关实现的信息。这使得你几乎不可能知道你已经比较了实现的最坏的潜在参数。