提问人：Neo Anderson 提问时间：1/29/2022 更新时间：1/29/2022 访问量：99
numpy 如何设法将 float32 除以 2**63？
How does numpy manage to divide float32 by 2**63?
问：
这里丹尼尔提到
...在 [0， 2²⁴） 中选取任何整数，并将其除以 2²⁴，然后可以通过将结果再次乘以 2²⁴ 来恢复原始整数。这适用于 2²⁴，但不适用于 2²⁵ 或任何其他更大的数字。
但是当我尝试时
>>> b = np.divide(1, 2**63, dtype=np.float32)
>>> b*2**63
1.0
虽然它不适用于 2⁶⁴，但我想知道为什么它适用于 24 到 63 的所有指数。而且，如果它只对numpy独有。
答：
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Eric Postpischil
1/29/2022
#1
在这段话所处的上下文中，并不是说整数值不能除以 225 或 263，然后乘以恢复原始值。这是说，这无助于创建无偏见的数字分布。
该文本留下了一些没有明确说明的内容，但我怀疑它正在讨论采用整数类型的值，将其转换为 IEEE-754 单精度，然后对其进行除法。这不适用于大于 224 的因子，因为从整数类型到 IEEE-754 单精度的转换必须对数字进行舍入。
例如，对于 232，从 0 到 16,777,215 的所有数字都将无误地转换为自身，然后除以 232 将为每个数字生成一个唯一的浮点数。但是 16,777,216 和 16,777,217 都将转换为 16,777,216，然后除以 232 将得到相同的数字 （1/256）。从 2,147,483,520 到 2,147,483,776 的所有数字都将映射到 2,147,483,648，然后生成 1/2，即 257 个数字映射到一个浮点数。但是从 2,147,483,777 到 2,147,484,031 的所有数字都映射到 2,147,483,904。所以这个有 255 个数字映射到它。（差异是由于舍入到最接近的平数规则。在高端，从 4,294,967,168 到 4,294,967,296 的 129 个数字映射到 4,294,967,296，其中除法产生 1，这超出了所需的半开区间 [0， 1]。
另一方面，如果我们使用从 0 到 16,777,215 （224−1） 的整数，则没有舍入，并且每个结果都恰好从一个起始数字映射并保持在区间内。
请注意，“有效”是浮点表示的分数部分的首选术语。“尾数”是一个古老的词，表示对数的小数部分。有效是线性的。尾数是对数的。IEEE-754 单精度格式的有效位是 24 位，而不是 23 位。用于对有效数进行编码的主字段有 23 位，但指数字段提供另一个位。
上一个：解决多项式乘法和除法“溢出”问题
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