提问人：cheng 提问时间：5/7/2015 更新时间：5/7/2015 访问量：869
浮点加法/乘法/除法
Floating Point Addition / Multiplication / Division
问：
我正在做教科书中的一些家庭作业，并且对某些算术运算的浮点舍入/精度有一些问题。
如果我像这样从 int 中转换双打：
int x = random();
double dx = (double) x;
假设变量 y、z、dy 和 dz 遵循相同的格式。
然后会像这样操作：
(dx + dy) + dz == dx + (dy + dz)
(dx * dy) * dz == dx * (dy * dz)
有关联性吗？我知道，如果我们有分数表示，那么它就不会是关联的，因为根据哪些操作数相互相加/相乘，舍入会损失一些精度。但是，由于这些是从 ints 转换的，我觉得精度不会成为问题，而且这些可以关联吗？
最后，我使用的教科书根本没有解释 FP 除法，所以我想知道这种说法是否正确，或者至少只是浮点除法的一般工作原理：
dx / dx == dz / dz
我在网上查了一下，我在某些领域读到过，比如像 3/3 这样的操作可以产生 .999...9，但没有足够的信息来解释这是如何发生的，或者它是否会因其他部门操作而异。
答：
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Yu Hao
5/7/2015
#1
假设最多为 32 位，并遵循 IEEE-754。 最多可以精确存储 253 个整数值。intdoubledouble
在添加的情况下：
(dx + dy) + dz == dx + (dy + dz)
两边都有其精确的值，因此它是关联的。==
而在乘法的情况下：
(dx * dy) * dz == dx * (dy * dz)
该值可能超过 253，因此不能保证它们相等。
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cheng
5/7/2015
澄清一下，所以 double 可以存储的最大值是 2^53 的原因是因为 52 位尾数 + 隐含的前导 1？
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chux - Reinstate Monica
5/7/2015
需要明确的是：可以精确地存储所有整数 --inclusive - 就像一个 54 位有符号整数或 .double-pow(2,53) ... +pow(2,53)int54_t
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Russell Borogove
5/7/2015
#2
您应该了解，浮点数通常在内部表示为符号位、定点尾数（52 位，IEEE 64 位双精度的隐含前导数）和二进制指数（IEEE 双精度的 11 位）。您可以将指数视为给定值的数学单位的“量子”。
如果总和都适合尾数，而指数没有超过 20 == 1，则加法应该是关联的。如果生成 32 位整数，则总和（如 将拟合），并且加法将是关联的。random()(dx + dy) + dz
在乘法的情况下，很容易看出 2 个 32 位数字的乘积可能远远超过 53 位，因此指数可能需要大于 1 才能使尾数包含结果的大小，因此关联性失败。
对于除法，在特定情况下，编译器可能会用常量 1.0 替换表达式（可能在零检查之后）。dx / dx
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user3629249
5/7/2015
指数还有一个内置的偏移量（我认为是 256），以允许正指数和负指数，而不必为符号消耗一点
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Russell Borogove
5/7/2015
指数偏移量（通常称为偏差）是指数范围的一半。对于具有 11 位指数的 IEEE double，偏差为 1023。对于IEEE单曲，它是127。
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(dx * dy) * dz == dx * (dy * dz)如果精度<精度的两倍，则会出现问题 - 这通常是这种情况。 不太可能成为问题，因为精度肯定超过精度 + 1。 明显的问题应该或.doubleint(dx + dy) + dz == dx + (dy + dz)doubleintdx / dx == dz / dzdx==0dz==0dx * dydy * dz2^53double dx = (double)(INT_MAX); double dy = (double)(INT_MAX - 0x111111); double dz = (double)(INT_MAX - 0xabcd);(dx * dy) * dz == dx * (dy * dz)